高中数学圆柱、圆锥、圆台和球课件

圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的定义，掌握它们的几何特征，并认识它们的图形．2．会在这些几何体中利用轴截面计算其中的一些量．3．区分棱柱、棱锥、棱台的几何特征．课前自主学案温故夯基多面体是由若干个_________________所围成的几何体．平面多边形知新益能1．圆柱、圆锥、圆台的结构特征(1)圆柱的结构特征定义：以_______的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴，如图中的OO′.圆柱的底面：________________的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，如图中⊙O和⊙O′.圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．圆柱的母线：无论旋转到什么位置，___________的边都叫做圆柱的母线，如图中的AA′、BB′.矩形垂直于轴不垂直于轴(2)圆锥的结构特征定义：以_________________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．直角三角形的一条直角边圆锥的轴：______叫做圆锥的轴，如图中的SO.圆锥的高：在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆锥的高．圆锥的底面：垂直于轴的边旋转所成的圆面叫做圆锥的底面，如图中的⊙O.圆锥的侧面：三角形的_______绕轴旋转所形成的曲面叫做圆锥的侧面．圆锥的母线：无论旋转到什么位置，斜边所在的边都叫做圆锥的母线，如图中的SA、SB都是母线．(3)圆台的结构特征旋转轴斜边定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台的轴：旋转轴叫做圆台的轴．圆台的高：在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆台的高．圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面，圆台有________底面，分别叫做圆台的上底面和下底面．圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面．圆台的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线．两个思考感悟1．圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面，在它们的侧面内有直线段吗？提示：有．由圆柱、圆锥、圆台的定义以及母线的定义可知，圆柱、圆锥、圆台的侧面上的母线是直线段，事实上在它们的侧面上，也只有母线是直线段．2．球(1)球的结构特征定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．球心：形成球的半圆的________叫做球的球心．球的半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径．球的直径：连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．圆心思考感悟2．体育中用到的球与数学中提到的球一样吗？提示：不一样．体育用到的足球、篮球、乒乓球，它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球，但是铅球是数学中提到的球，数学中提到的球是旋转体，是实心的．(2)球的截面的性质①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O′的距离(如图)．则r、R、d之间的关系为_________________.②球的大圆、小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．R2＝d2＋r2(3)地球仪中的经纬度①经线和经度经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都_______，如图中，圆O是赤道面，圆O′是纬度圈，P点的经度与A点的经度_________，如果经过点B的经线是本初子午线(即0°经线)，则P点的经度等于__________的度数，也等于_________________的度数．相等相等∠AOB∠PO′C②纬线和纬度赤道是一个大圆，它是0°纬线，其它的纬线都是小圆，它们是由与赤道面________的平面截球所得到的．某地的纬度就是经过这点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数．如图所示，圆O是赤道面，圆O′是纬线圈，P点的纬度等于_________的度数，也等于_________的度数．(4)球面距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．平行∠POA∠OPO′课堂互动讲练考点突破圆柱、圆锥、圆台及球的有关概念理解它们定义的共性：都是旋转体．有以下命题：(1)以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)分别以矩形两条不同的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得的两个圆柱可能是两个不同的圆柱．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4例1【分析】解答本题可先根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质，再结合已知的各个命题中所涉及的具体情况进行具体分析．【解析】圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴的，如果以斜边所在直线为旋转轴旋转，那就变成一个组合体了，故(1)错误；圆台是以直角梯形与底边垂直的腰所在直线为旋转轴的，故(2)错误；圆柱、圆锥、圆台的底面都为圆面，故(3)错误；根据圆柱的定义可知，无论以矩形的哪条边所在直线为旋转轴，旋转所得的曲面围成的几何体都是圆柱，但它们并不一定是相同的圆柱，故(4)正确，因此正确的命题有1个．【答案】A【点评】本题是考查圆柱、圆锥、圆台概念的理解问题．对几何体的概念理解要到位，稍有疏忽都会造成错误的判断，做题时要注意以哪条边所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转得圆锥，以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体；以直角梯形垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得圆台，以斜腰所在直线为旋转轴把直角梯形旋转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体．跟踪训练1下列判断正确的是()A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形答案：C寻找与母线有关的矩形或者与半径有关的圆．圆柱体的有关量的计算例2一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？【分析】建立S关于x的关系式求最值，应从函数的角度入手解决．【解】(1)如图，设内接圆柱的底面圆半径为r，则由已知可得6－x6＝r2，所以r＝6－x3.所以轴截面面积S＝2×6－x3·x＝－23x2＋4x，(0x6)．(2)由(1)可得，S＝－23(x－3)2＋6，x∈(0,6)，所以当x＝3时，S最大．【点评】轴截面是旋转体中一类重要的截面，它是把立体几何问题向平面几何问题转化的重要桥梁．圆柱、圆锥的轴截面有无数个，作图时要注意已知量与未知量的联系，即将未知量和有用的已知量充分显示在轴截面图形中，从而有利于问题的解决．跟踪训练2设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，把它的侧面沿一条母线切开展平成一个扇形，求扇形的圆心角．解：设扇形的圆心角为α，∵圆锥的高为h，底面圆的半径为r，∴圆锥的母线长为l＝h2＋r2.把它的侧面沿一条母线切开展平成一个扇形，那么扇形的半径等于圆锥的母线长l＝h2＋r2，弧长为圆锥的底面周长2πr.∴2πr＝α·π·h2＋r2180，解得α＝rh2＋r2·360.圆台也可以看成是圆锥用平行于底面的截面截得的．圆锥、圆台中各量的计算例3已知圆台的母线长为8，母线与轴的夹角为30°，下底面半径是上底面半径的2倍，求两底面面积和轴截面面积．【分析】可考虑将圆台还原为圆锥，再作出其轴截面，在截面中根据条件列式求解，即将空间问题转化为平面问题求解．【解】设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台还原成圆锥，作轴截面如图所示，则∠ASO＝30°.在Rt△SA′O′中，SA′＝rsin30°＝2r，在Rt△SAO中，SA＝2rsin30°＝4r，∴AA′＝SA－SA′＝2r，即2r＝8，∴r＝4.∴S上底＝πr2＝16π，S下底＝π·(2r)2＝64π.在Rt△AA′C中，A′C＝A′Acos30°＝8×32＝43，∴S轴截面＝12(2r＋4r)×A′C＝12×24×43＝483.因此，圆台的上底面面积为16π，下底面面积为64π，轴截面面积为483.【点评】处理旋转体问题，借助于轴截面，更易找出各量之间的关系，但应注意截面图中的量与实际图形中的对应关系．跟踪训练3已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.∵△VA1C1∽△VMN，∴2x2r＝h－xh，∴2hx＝2rh－2rx，∴x＝2rh2r＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.转化为圆中的有关计算．有关球的计算设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR.求A、B两地间的球面距离．例4【分析】根据球面距离定义可知，只要求出∠AOB即可．【解】如图所示，A、B是北纬45°圈上的两点，AO′为它的半径，∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′.∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝22R.设∠AO′B的度数为α，则απ180·AO′＝απ180·22R＝24πR，∴α＝90°.∴AB＝AO′2＋BO′2＝22R2＋22R2＝R.在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，则△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴A、B两点间的球面距离为60πR180＝π3R.【点评】计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角的度数α，然后通过计算απR180来确定球面距离(R是球半径)．跟踪训练4长方体ABCD－A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB∶AD∶AA1＝1∶1∶2，A、B两点的球面距离记为m，A、D1两点的球面距离记为n，则mn的值为________．解析：设AB＝x，由已知可得球半径为12＋12＋222x＝x.连接AO，BO，D1O，AD1，则△AOB为正三角形，则∠AOB＝π3，所以A、B两点的球面距离为π3x.在△AOD1中，OA＝OD1＝x，AD1＝3x，所以∠AOD1＝2π3，所以A、D1两点的球面距离为2π3x，所以A、B两点的球面距离与A、D1两点的球面距离之比为12.答案：12方法感悟1．对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是连心线垂直于底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面与底面全等，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形，平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．2．对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面——平行于底面的截面是与底面相似的圆面，圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形，圆锥的有关计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2＝h2＋R2.3．对于圆台的性质，需要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形；二是圆台的母线l、高h和上下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯形，且有l2＝h2＋(R－r)2成立，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法．4．对于球的有关问题：(1)球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，球心与截面圆心的连线垂直于截面．(3)球是平面图形圆在空间的延伸，因此在研究球的性质时，应注意与圆的性质作类比．球又是旋转体，由于旋转体是轴对称几何体，故解题时，常利用它的轴截面图形，从而化空间问题为平面问题．