高级微观经济学博弈论

第13讲博弈论到目前为止，我们对经济活动的考察没有考虑人们之间行为的相互影响。其实，现实中一个人的行为总是受到其他人行为的影响和制约，人们在追逐自己利益的过程中难免要与他人发生利益冲突或矛盾。如何克服和解决人们之间的利益冲突？如何才能实现一种既能让每个人都实现自己的利益，又能让每个人都不妨碍和伤害他人利益的互利互惠的和谐局面？博弈论(gametheory)为解决这些问题提供了一种有力的科学分析框架。自20世纪80年代以来，博弈论在经济学中得到了广泛应用，在揭示人们经济行为的相互影响和相互制约方面取得了重大进展。大部分经济活动都可以用博弈论加以解释，甚至连市场调节与宏观调控这样的重大问题都可以看成是特殊的博弈现象，纳入到博弈论的范围加以研究。博弈论的思想方法博大精深，已经成为经济学的一个必不可少的组成部分。博弈的标准形式与分类博弈的基本要素：局中人(玩家)、策略、收益。局中人的目标：收益最大化。策略博弈(gameofstrategies)：局中人以策略定胜负。博弈的标准形式(normalformofagame)：G=(Xi,fi)n，其中n为局中人总数，Xi为局中人i的策略集合，S=X1X2Xn为G的局势集合，fi:SR为局中人i的收益函数。局势：由各局中人的策略组成的n元组(x1,x2,,xn)(其中xiXi)。博弈的分类：一般按照博弈的基本要素进行分类。①按局中人数分：二人博弈、多人博弈②按策略集合分：有限博弈、无限博弈③按收益函数分：常和(零和)博弈、变和博弈④按博弈性质分：非合作博弈、合作博弈⑤按行动次序分：同时移动博弈、先后移动博弈(序贯博弈)以上分类可以结合起来，形成更仔细的分类。比如，二人零和有限博弈(矩阵博弈)、多人非合作无限博弈等等。一、矩阵博弈博弈是一种普遍的日常现象。当人们工作的时候，总是会有意识或潜意识地运用博弈论思维。比如，企业在经营决策中总是要考虑竞争对手的反应，个人与政府之间又存在着“上有政策，下有对策”的博弈迹象，金融监管与金融创新则犹如“猫鼠博弈”。在人们休闲时，博弈又作为消遣性的游戏让人们从中取得快乐，甚至获得智慧，例如下棋、玩牌、打麻将等。一般来讲，博弈的特征表现为两个或两个以上具有利益冲突的当事人处于一种不相容状态中，一方的行动取决于对方的行动，每个当事人的收益都取决于所有当事人的行动。当所有当事人都拿定主意作出决策时，博弈的局势便得以确定。博弈论正是要研究人们之间的这种不相容的行为，它推广了标准的一人决策理论。博弈论关注的问题是：在每个当事人的收益都依赖于其他当事人的选择的情况下，追求个人收益最大化的当事人应该如何采取行动。我们先以最简单的矩阵博弈为重点来讨论这个问题，建立博弈论的基本思路和分析框架。(一)矩阵博弈的标准形式因此，甲和乙的二人零和有限博弈G=(X,f;Y,g)可表示为G=(X,Y,f)。特别是当策略集合X和Y既定时，可直接用甲的收益矩阵表示这个博弈G，并称作“矩阵博弈f”。))0()),((),()((),((:,:},,,{},,,,{,),;,(2121ijijjiijjiijjinmgfyxggyxffSyxRSgRSfyyyYxxxXYXSgYfXG矩阵博弈：mnmmnnnmijffffffffff112222111211)(fnmijf)(f例1．便士匹配甲和乙在玩一种游戏，每人手中都有一枚硬币，每人都有两种选择：出示硬币正面、出示硬币反面。游戏规则：甲和乙各自独立决定是出示正面还是出示反面。如果都出示正面或都出示反面，那么甲赢１元，乙输１元；如果一人出示正面，而另一人出示反面，那么甲输１元，乙赢１元。这个游戏就是通常所说的便士匹配博弈(MatchingPennies)，它类似于小孩子玩的“手心手背”游戏。其标准形式如下：乙甲出示正面出示反面出示正面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)出示反面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)便士匹配博弈收益表(二)古诺均衡局中人的目标：选择合适的策略以使自己的收益(对方的损失)达到最大，也就是要让对方的收益(自己的损失)达到最小。我们来分析局中人的博弈过程以揭示博弈的最优解。假定：甲和乙都彼此了解对方的收益矩阵，即双方都清楚自己的收益就是对方的损失——利益冲突。博弈过程：既然每个局中人都要根据对方的行动来调整和确定自己的行动，那么博弈过程必然是这样的策略调整与选择过程：每个人都要不断地在对方选定了策略的情况下来调整自己的策略以使自己的收益达到最大。博弈结局：当策略调整达到了这样的局势(xh,yk)使得xh是甲在乙选定yk的情况下的收益最大策略，同时yk是乙甲在选定xh的情况下的收益最大策略的时候，局中人双方的策略调整得以结束，博弈的解得以确定，这个解即所谓的古诺均衡。即}:),(min{}:),(max{),(YyyxfXxyxfyxfhkkh1.最小最大原理鞍点定理(最小最大原理)是矩阵的鞍点(即博弈局势(xh,yk)是矩阵博弈f的古诺均衡)当且仅当下述等式成立：ijminjhkijnjmifff1111maxminminmaxhkfnmijf)(f鞍点定理表明，要找到矩阵博弈的古诺均衡(即最优解)，只需按照如下步骤进行：第一，从矩阵各行的最小元中找出最大元，称为最大最小元；第二，从矩阵各列的最大元中找出最小元，称为最小最大元；第三，如果最大最小元与最小最大元一致，那么该元素就是矩阵的鞍点，代表矩阵博弈的古诺均衡。乙甲作广告不作广告作广告3030不作广告2020例2.广告竞争的古诺均衡单位：万元2.稳妥策略与不稳定性最小最大原理指出，只有在收益矩阵的最大最小元与最小最大元一致的情况下，矩阵博弈才有最优解。注意，最大最小元和最小最大元总是存在的，但最大最小元与最小最大元未必总是一致。这样一来，矩阵博弈就可能没有最优解。比如，便士匹配博弈就没有最优解：该博弈的收益矩阵的最大最小元为和，最小最大元为和，结果最大最小元与最小最大元不一致，从而便士匹配博弈没有最优解。112f121f111f122f矩阵博弈可能没有最优解的真正原因是什么？为了分析这个问题，我们把收益矩阵的最大最小元叫做甲的稳妥策略；把收益矩阵的最小最大元叫做乙的稳妥策略。矩阵博弈可能没有最优解的原因是稳妥策略可能不稳定：未必能使策略调整过程结束。因此，即使甲和乙都选择稳定策略，也未必能保证博弈达到古诺均衡。(三)混合均衡古诺均衡未必存在，这不是我们的期望。另外，实际中，局中人常常希望行动隐秘而不被对手觉察。为了解决这两个问题，人们提出了混合策略，即设计一种连自己都不知道会采取哪种策略的随机策略，对手就更不得而知，从而使得局中人的行动变得诡秘。混合策略(mixedstrategies)考虑二人有限博弈G=(X,f;Y,g)。X={x1,x2,…,xm}可叫做甲的纯策略集合，Y={y1,y2,…,yn}可叫做乙的纯策略集合，S=XY便为博弈G的纯局势集合。甲可采取随机选择：以概率pi选择纯策略xi(i=1,2,…,m)，从而可用概率分布p=(p1,p2,…,pm)来表示甲的这一选择。这种以概率分布表示的策略叫做混合策略，集合叫做甲的混合策略集合。同样，可给出乙的混合策略集合。集合就叫做博弈G的混合局势集合。}1:]1,0[{~1miimpXp}1:]1,0[{~1njjnqYqYXS~~~1.混合扩充甲和乙的收益矩阵分别为：。博弈G的混合扩充为博弈：T1111T1111),(),(~),(qgpqpqfpqpqpminjijjiminjijjiminjijjiminjijjigqpgqpEgfqpfqpEfSnmijnmijgf)(,)(gf),~;,~(~EgYEfXG定理博弈G=(X,f;Y,g)为常和博弈当且仅当G的混合扩充为常和博弈。当G是常和博弈时，G与具有相同的收入常和。G~G~G的混合扩充的古诺均衡(最优解)叫做G的混合均衡(混合最优解)。换句话说，G的混合局势(p*,q*)叫做的混合均衡(混合最优解)，是指(p*,q*)满足如下条件：G~}~:)*,(min{*)*,(}~:*),(max{YEfEfXEfqqpqppqp定理(混合均衡的存在性)任何矩阵博弈都有混合均衡。例3．便士匹配的混合最优解便士匹配博弈中，甲的收益矩阵为f。)12)(12()1()1()1)(1(),(),(),1(),,1(,]1,0[),(]1,0[}10:),1{(~],1,0[}10:),1{(~]1,0[~~~1,1,1,1,1111)(22211211T222221121122qpfpqfqpfqpfqpEfqpEfqqppqpqqqYpppXYXSfffffijqfpqpqpf寻找便士匹配博弈的混合最优解，就是去找出使得。2]1,0[*)*,(qp}10:)*,(min{*)*,(}10:*),(max{qqpEfqpEfpqpEf)5.0,5.0(*)5.0,5.0(*.i.e5.0*5.0*0)1*2(2*)*,(0)1*2(2*)*,(qpqppqqpEfqpqpEf2.混合均衡集的特点矩阵博弈混合均衡的存在性以及鞍点定理保证了博弈值V(G)是一个良好定义的数，并且当(p*,q*)是的混合最优解时，必有V(G)=Ef(p*,q*)。博弈值在解释最优解的性质以及求解混合最优解方面相当有用，还可以通过博弈值来证明矩阵博弈G的混合均衡集(混合最优解集)具有下述定理所述的特点。),(maxmin),(minmax)(~~~~qpqppqqpEfEfGVXYYX博弈值}ofmequilibriuanis*)*,(:~*)*,({)}ofmequilibriuanis*)*,)((~*(:~*{)}ofmequilibriuanis*)*,)((~*(:~*{21GSTGXYTGYXTqpqpqppqqpqp定理对于甲和乙的矩阵博弈G=(X,Y,f)来说，T=T1T2且混合均衡集T是空间的非空有界闭凸子集，从而甲的混合最优策略集T1是的非空有界闭凸子集，乙的混合最优策略集T2是的非空有界闭凸子集。nmRmRnR二、二人博弈矩阵博弈仅仅是一类简单又典型的二人常和博弈，经济学中遇到的博弈往往都是变和博弈。矩阵博弈理论之所以重要，是因为它为研究变和博弈提供了很好的分析思路和框架。现在，我们来在矩阵博弈理论的基础上建立一般的二人博弈理论。二人有限博弈二人无限博弈二人博弈的重复(一)二人有限博弈例4.囚徒难题博弈},,2,1:max{},,2,1:max{:),()(,)(,:,:,},,,{},,,,{),,;,(2121njggmiffyxgfRSgRSfYXSyyyYxxxXgYfXGhjhkikhkkhnmijnmijnm古诺均衡gf乙甲合作背叛合作3000300004000背叛4000010001000囚徒难题博弈收益表古诺均衡(纳什均衡)1.最小最大原理失效乙甲y1y2x15532x24366博弈GA：古诺均衡与最大最小元不一致乙甲y1y2x15637x24554博弈GB：不存在均衡，但存在最大最小元2.混合策略角谷不动点定理(Kakutani’sfixedpointtheorem)设T是有限维欧氏空间的非空有界闭凸子集，F:TT是集值映射。如果F上半连续且对任何xT,F(x)都是非空闭凸集，那么F必有不动点，即存在xT使得xF(x)。),~;,~(~EgYEfXG}~:)*,(max{*)*,(}~: