3.3解对初值的连续性与可微性定理

§3.3解对初值的连续性和可微性/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/解对初值的连续性解对初值的可微性本节要求：1了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要§3.3Continuity&differentiability200(,),(,)(1)()dyfxyxyGRdxyxy考察的解对初值的一些基本性质00(,,)yxxy•解对初值的连续性•解对初值和参数的连续性•解对初值的可微性内容:yxG00(,)xy00(,,)yxxy00(,)xy00(,,)yxxy图例分析(见右)200(,),(,)()dyfxyxyGRdxyxy解可看成是关于00,,xxy的三元函数00(,,)yxxy满足0000(,,)yxxy11(,)xy解对初值的对称性:00(,,)yxxy00(,,)yxxy前提解存在唯一例:0000()xxdyyyyedxyxyQ:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?00(,)xyQ2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题.00(,)xy[,)a[,)a[,)a3.3.1解对初值的对称性定理设f(x,y)于域G内连续且关于y满足利普希茨条件，),,(,),(0000yxxyGyx是初值问题)1.1.3()(),,(00yxyyxfdxdy的唯一解，则在此表达式中，与可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式§3.3Continuity&differentiability),(00yx),(yx),,(00yxxy证明,)()1.1.3(100xyxy值的解存在区间内任取一满足在),,,(0011yxxy则由解的唯一性知,,),(),()1.1.3(0011的解是同一条积分曲线与过点过点yxyx即此解也可写成:),,,(11yxxy且显然有:),,,(1100yxxy,),(11是积分曲线上任一点由于点yx。yxyxxy均成立点对该积分曲线上任意因此关系式),(),,(003.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，),,(,),(0000yxxyGyx是初值问题00yxyyxfdxdy)(),,(的解，它于区间有定义，那么，对任意给定的，必存在正数使得当bxa)(bxa00),,(ba2200200)()(yyxx时，方程满足条件的解00yxy)(),,(00yxxy在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx0000,),,(),,(§3.3Continuity&differentiability引理如果f(x,y)在某域D内连续，且关于y满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式)()(xx及000xxLexxxx)()()()(其中为所考虑区间内的某一值。0x证明设在区间均有定义，令)(),(xxbxa2)]()([)(xxxVbxa不妨设因此，有()()xx§3.3Continuity&differentiability则)]()()][()([)(xxxxxV2)],(),()][()([xfxfxx2)]()()][()([xxxxL2)(xLV20222LxLxexLVexV)()(于是02))((LxexVdxd因此，在区间[a,b]上为减函数，有LxexV2)(02()00()(),LxxVxVxexxb§3.3Continuity&differentiability对于区间，并记令000txtxxxa,,则),(ytfdtdy并且已知它有解)(),(tyty类似以上推导过程，令2)]()([)(ttt02()00()(),Lttttettass-＃?注意到)()()()(00xVtxVtxt及0200xxaexVxVxxL,)()()(因此0200()(),,LxxVxVxeaxbaxb两边取平方根，得000xxLexxxx)()()()(§3.3Continuity&differentiability2220000()()xxyy解对初值的连续依赖性定理的证明00(,)xyG00(,,)yxxyy(,)fxy条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].0(,,)ab0结论:对,使得当00(,,)yxxy00(,)xy0000(,,)(,,),.xxyxxyaxb时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且21(,),()),(dyfxyxyGRdx方程记积分曲线段S：显然S是xy平面上的有界闭集.00(,,)(),[,]yxxyxxab第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.SD(,)fxyyxG00(,)xy00:(,,)SyxxyiC(见下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,李普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有(,)xySiCG(,)fxyiL1NiiGCSGG对,记0(,),min,/2dGS则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D1max,,NLLLGba思路分析：xy000(,)pxyabmin(,/2)0x0yGDxy000(,)pxyabmin(,/2)0x0y0y0xGD第二步:证明在[a,b]上有定义.00()(,,)xxxydc断言，必存在这样的正数),(),,(ba使得只要满足不等式2200200)()(yyxx则解必然在区间00yx,)(),,(xyxxy00bxa也有定义。由于D是有界闭区域，且f(x，y)在其内关于y满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为),,(00yxxy和))(,(cc,)),(,(dcdd这是必然有.,bdac§3.3Continuity&differentiability因为否则设则由引理,,bdacdxcexxxxxxL,)()()()(000由的连续性，对)(x,)(abLe211必存在,02使得当时有20xx10)()(xx取),,min(21则当2200200)()(yyxx022002xxLexxxx)()()()(0220000xxLexxxx)()()()(§3.3Continuity&differentiability022002xxLexxxx)()()()(0220000xxLexxxx)()()()(022002002xxLexxxx)()()()(222()1002Lbayye2)(2214abLe......(*),dxc于是)()(xx对一切成立，特别地有],[dcx)()(cc)()(dd即点和))(,(cc))(,(dd均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解在区间[a,b]上有定义。)(x§3.3Continuity&differentiability第三步:证明()(),xxaxb在不等式(*)中将区间[c,d]换成[a,b]即得.的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程),,(00yxxy),,(yxfdxdy00yxx,,§3.3Continuity&differentiability1.含参数的一阶方程表示)(),,(Eyxfdxdy,),(:GyxG2.一致利普希兹条件设函数),,(yxf满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，为中心的球，使得对任何2121yyLyxfyxf),,(),,(其中L是与无关的正数。在内连续，且在内GG都存在以成立不等式G),,(yx),,(yxGC),,,(1yx),,(2yx§3.3Continuity&differentiability一致地关于y即对内的每一点C由解的存在唯一性定理，对每一方程的解唯一确定。记为E),,,(000yxxy),(0§3.3Continuity&differentiability)(),,(Eyxfdxdy解对初值和参数的连续依赖性定理假设于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，),,,(,),,(000000yxxyGyx是方程通过点的解，在区间那么，对任意给定的，必存在正数bxa,bxa00),,(ba220200200)()()(yyxx时，方程满足条件的解00yxy)(),,,(00yxxy在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx00000,),,,(),,,(),,(yxfGGE),(00yx有定义其中使得当§3.3Continuity&differentiability的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理),,,(00yxxy),,,(yxfdxdy,,,00yxx假设于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，则方程),,(yxfGG§3.3Continuity&differentiability3.3.3解对初值的可微性定理的解作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数f(x,y)以及都在区域G内连续，则方程),,(00yxxy),,(yxfdxdy00yxx,,yf§3.3Continuity&differentiability解分别是下列初值问题的00yx,000(,)()(,)dzfxzdxyzxfxy0(,)()1dzfxzdxyzxxxdxyxfyxfx0000),(exp),(xxdxyxfy00),(exp)),,(,(00yxxxfx§3.3Continuity&differentiability证明yf由在区域G内连续，推知f(x,y)在G内关于y满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即),,(00yxxy下面进一步证明对于函数的存在范围内任一点的偏导数),,(00yxxy00yxx,,在它的存在范围内关于是连续的。存在且连续。00yxx,,§3.3Continuity&differe