压轴题思维导图(干货版)

1压轴题思维导图总结（干货）压轴题，山人自有妙计先给大家推荐几本书目：《数学那玩意》4.7星，适合学完导数与解析几何的时候看，一位数学牛人（学生）主编的，以学生的口吻解题，幽默风趣，其中包含了二次曲线系、过原点的两条直线、积分放缩（一部分）；《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》4.4星，适合学完解析几何的时候看，总结了许多有用的二级结论；《更高更妙的高中数学思想方法与指导》3.8星，个人认为虽然题目比较难，但是方法归纳比较散，不系统，看了收获不是很大；《五·三》和《天利38套》适合刷题，不做评价。另外，将自己高中收集的个人认为蛮有用的资料、压轴题ppt（带高三家教的时候整理的，学生反映不错）都发给陆老师了。先来说说三大“杀手锏”：解析几何的二次曲线系、导数的分析通项（与n有关的不等式，求和、求积型）和洛必达法则（分离变量后不可求值型）。此外，对于高考水平的求和类不等式形如∑akSn,和nk=1∑akc，cnk=1为常数，基本都可以用一招积分放缩搞定，积分放缩又分为矩形放缩（放缩程度较松）和梯形放缩（放缩程度较紧凑）。不过积分放缩有两个缺点，一是如果被积函数比较复杂，中学生驾驭起来较难，如12𝑥+1；二是如果积分放缩得出的结果是一个超越数，很难比较大小，如ln2和0.7的大小难比较，不等号方向自然无法确定。另附：分析通项方法：1、证明𝑎1𝑎2……𝑎𝑛𝑆𝑛，变式：证明𝑎1𝑎2……𝑎𝑛𝑐。分析通项，即令𝑆𝑛=（𝑆𝑛/𝑆𝑛−1）·（𝑆𝑛−1/𝑆𝑛−2）···（𝑆2/𝑆1）·𝑆1，从而证明每一项𝑎𝑛𝑆𝑛/𝑆𝑛−1。（一般可用归纳法）2、证明𝑎1+𝑎2+……+𝑎𝑛𝑆𝑛，变式：证明𝑎1+𝑎2+⋯…+𝑎𝑛𝑐。分析通项，即令𝑆𝑛=（𝑆𝑛—𝑆𝑛−1）+（𝑆𝑛−1—𝑆𝑛−2）+···+（𝑆2—𝑆1）+𝑆1，从而证明每一项𝑎𝑛𝑆𝑛—𝑆𝑛−1。（一般可用归纳法）对于变式𝑎1𝑎2……𝑎𝑛𝑐和𝑎1+𝑎2+⋯…+𝑎𝑛𝑐，只需将c加强为c（1-𝑆𝑛）c,其中0𝑆𝑛1,再进行分析通项。洛必达法则（恒成立或存在性问题）解题步骤：1、先分离变量，比如若af(x)恒成立，则求f(x)的最小值，假设x∈(𝑎,+∞)。2、对f(x)求导，对于压轴题一般求一次导不行，再进行求二阶导数、三阶导数等等。3、①若f(x)min在x=b（ba）处取得，一般不用洛必达法则，直接代入b即可。②若f(x)min在x=a处取得，但x∈(𝑎,+∞)，并且产生00型极限，这时候就利用洛必达法则，如果求一次导还是00型，那就再求一次导……直到求出极限为止。二次曲线系解题步骤：1、找出4个交点（3个点的情况一般切线隐藏），它们为2个二次曲线的交点。2、找出第3个过这4个交点的二次曲线，构造等式。23、对比等式两边的系数，求出未知数。说明：对比系数时，要尝试选出有用的等式，不要将式子展开，那样会很麻烦，只需单独对比某个项的系数即可。另外，两个直线方程相乘=一个退化的二次曲线。下面不妨以思维导图来总结压轴题的题型和解题套路。（1）解析几何一、知识储备{直线{直线方程形式{点斜式两点式斜截式截距式一般式与直线有关重要内容{倾斜角与斜率点到直线距离夹角公式弦长公式两条直线位置关系圆锥曲线{圆锥曲线的方程形式{标准式距离式参数式极坐标式与圆锥曲线有关的二级结论{1、焦半径公式2、焦点三角形面积公式3、过圆锥曲线上某点的切线方程4、极线定理5、弦与中线斜率积为定值6、细看中点弦方程，恰似中点弦轨迹7、抛物线性质{①端点投影在准线，连接焦点垂直线②焦弦切线成直角③切线平分焦弦的倾角④直角梯形对角线为原点⑤两臂乘积是定值3二、方法储备{𝟏、点差法(中点弦题型，联系了弦斜率与弦中点坐标的关系){①求弦中点的轨迹方程②求圆锥曲线方程③求直线斜率④确定参数范围⑤证明定值问题⑥处理存在性问题2、设而不求法(PQ→=λQM→题型，Q为定点，P、M为圆锥曲线两动点){①定值问题②定点问题③定直线问题④取值范围问题3、巧设直线𝐱=𝐭𝐲+𝐦{①当直线过x轴上的某个定点{I.端点向量相等II.斜率不为0，但可能不存在②当圆锥曲线是抛物线y2=2px4、极坐标{极点在焦点(焦点弦题型，焦点弦的6个性质)极点在坐标原点(过原点的两条垂直直线题型)5、过原点的两条直线(设斜率为k1、k2)，若与{k1+k2k1·k2有关，将方程转化为k的二次方程。𝟔、数形结合，常见的模型及目标函数{①斜率，如y−bx−a②距离，如(x−a)2+(y−b)2③截距，如ax+by④点到直线距离，如|ax+by+c|𝟕、参数方程（求弦长、距离、最值）{①椭圆：x=acosθ，y=sinθ，θ表示离心角②双曲线:x=asecθ，y=tanθ，θ表示离心角③抛物线:x=2pt2，y=2pt④直线：x=x0+tcosα，y=y0+tsinαt表示到定点(x0，y0)的方向距离(x0，y0)上方，t0；(x0，y0)下方，t0,4二、方法储备:8、曲线系{直线系{①与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为By−Ax+C2=0②过定点(x0，yo)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0，这样的设法不用讨论斜率是否存在。③过直线l1和l2的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0圆系{①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+dx+ey+f=0交点的圆系方程为Ax+By+C+λ(x2+y2+dx+ey+f)=0。②过圆𝐶1与圆𝐶2交点的圆系方程为𝑥2+𝑦2+𝑑1𝑥+𝑒1𝑦+𝑓1+𝜆(𝑥2+𝑦2+𝑑2𝑥+𝑒2𝑦+𝑓2)=0……∗式(𝜆≠−1)，当∗式的𝜆=−1时{若圆C1与圆C2相切，表示两圆公切线方程若圆C1与圆C2相交，表示两圆公共弦方程若圆C1与圆C2相离，表示两圆根轴方程椭圆系{①与椭圆x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系方程为x2λ+y2λ−c2=1(λc2)②与椭圆x2a2+y2b2=1有相同离心率的椭圆系为x2a2+y2b2=λ(λ0)双曲线系{①与双曲线x2a2−y2b2=1共焦点的双曲线系方程为x2λ−y2c2−𝜆=1(0λc2)②与双曲线x2a2−y2b2=1有相同离心率、共渐近线的双曲线系为x2a2−y2b2=λ(λ0)。③等轴双曲线系为：𝑥2−𝑦2=𝜆(𝜆≠0)两条直线(退化的二次曲线){①定义：设直线l1和l2为Ax+By+C=0(A=A1、A2，B=B1、B2)，则(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0表示两条直线l1、l2，即退化的二次曲线l1·l2。②用法：可同时表示双直线l1和l2所有的点。注：二次曲线系一般形式为𝑎𝑥2+𝑏𝑦2+𝑐𝑥𝑦+𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓=0(a和b不同时为0)。它可表示{①圆，当且仅当xy的系数为0、a=b,半径r0。②椭圆、双曲线、抛物线。③两条直线，当且仅当可以分解为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0。④一条直线，即可以分解为(Ax+By+C)2=0。⑤一个点，当且仅当可以分解为a(x−x0)2+b(y−y0)2=0。5二、方法储备：9、二次曲线系的应用{结论：若两二次曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点是P(a,b),则过交点P(a,b)的第三个二次曲线方程为f(x,y)+λg(x,y)=0。推论{1、若圆锥曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0有四个交点，则过两曲线的交点的第三个曲线方程为f(x,y)+λg(x,y)=0。2、若直线l1、l2与圆锥曲线f(x,y)=0有四个不同交点，则过这四个交点的第三个二次曲线方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λf(x,y)=0。3、若四直线l1、l2、l3、l4与圆锥曲线f(x,y)=0有四个不同交点，则过这四个交点的第三个二次曲线方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(A3x+B3y+C3)(A4x+B4y+C4)=μf(x,y)。4、Pi(i=1,2,3)不共线三点，直线PiPi+1(i=1,2,3,P4=P1)的方程为li(x,y)=(Aix+Biy+Ci)=0,则过这三点的曲系线方程为l1(x,y)l2(x,y)+λl2(x,y)l3(x,y)+μl3(x,y)l1(x,y)=0。二次曲线系解题的三大图景{图景1：两条直线与圆锥曲线的四个交点图景2：四条直线与圆锥曲线的四个交点图景3：三条直线与圆锥曲线的三个交点(第四条线即切线隐藏)6（2）、导数一、导数不等式（与n有关型）{方法储备{分析通项{乘积型{①𝐚𝟏𝐚𝟐……𝐚𝐧𝐒𝐧②𝐚𝟏𝐚𝟐……𝐚𝐧𝐜(c为常数)求和型{①𝐚𝟏+𝐚𝟐+……+𝐚𝐧𝐒𝐧②𝐚𝟏+𝐚𝟐+……+𝐚𝐧𝐜(c为常数)构造函数形式{①𝐱𝐱+𝟏≤𝐥𝐧(𝐱+𝟏)≤𝐱，𝐱∈(−𝟏,+∞)变形得{𝐥𝐧𝐱≤𝐱−𝟏𝐥𝐧𝐱𝐱≤𝟏—𝟏𝐱②ex≥x+1,x∈R技巧储备{等比放缩{简单型{①∑12i1ni=1②∑i2i2ni=1③∑12i+11ni=1④∑i2i+i2ni=1复杂型{①∑𝟏𝐚𝐧+𝐛𝐧𝐢=𝟏𝐜型,(c为常数)②∑𝟏𝐚𝐧+(—𝐛)𝐧𝐧𝐢=𝟏𝐜型,(c为常数)③𝐜𝟏+𝐛𝟏𝐪𝐧∑𝐚𝐢𝐧𝐢=𝟏𝐜𝟐+𝐛𝟐𝐪𝐧型,(c为常数)④积分放缩(以f(x)=1x为例){矩形放缩：𝒇(𝒊+𝟏)·𝟏∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒇(𝒊)𝒊+𝟏𝒊·𝟏梯形放缩：∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟏𝟐[𝒇(𝒊)𝒊+𝟏𝒊+𝒇(𝒊+𝟏)]·𝟏裂项放缩(技巧积累：18个常见的裂项公式及裂项不等式，不妨熟记)二项放缩{7二、导数恒成立与存在性问题{两种方法{1分离变量{I.可求最值型:直接把x的具体值𝑥0代入g(𝑥)即可II.不可求最值型:求极限limx→ag(x),若产生{00型∞∞型极限，用洛必达法则2分类讨论恒成立的题型{为常数）”型（其中)(题型一：“aaxf题型一方法{1分离变量{I.可求最值型II.不可求最值型2分类讨论”型)()(题型二：“21xgxf题型二方法{；)()(，对恒成立)()(都有,，形如.）1（maxmin2121xgxfDxxgxfDxx；)()(，对恒成立)()(都有,，形如.）2（minmax2121xgxfDxxgxfDxx题型三：“|f(x1)−f(x2)||x1−x2|”型题型三方法{方法一转化为斜率k=|f(x1)−f(x2)||x1−x2|1，再求参数的范围。但此种方法容易在端点处出错，不推荐。方法二先假设x1x2，通过f(x)的单调性去掉绝对值，从而{(1)、若f(x1)−x1f(x2)−x2(f(x)递增恒成立)，进而构造g(x)=f(x)−x。(2)、若f(x1)+x1f(x2)+x2(f(x)递减恒成立)，进而构造g(x)=f(x)+x。恒成立与存在性的区别8恒成立与存在性的区别{恒成立问题{1、∀x∈D,均有f(x)a恒成立，则有f(x)mina。2、∀x∈D,均有f(x)a恒成立，则有f(x)maxa。3、∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则有[f(x)−g(x)]mina。4、∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则有[f(x)−g(x)]maxa。5、∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则有f(x)ming(x)max。6、∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则有f(x)maxg(x)min。存在性问题{1、∃x0∈D,使得f(x0)a成立，则有f(x)maxa。2、∃x0∈D,使得f(x0)a