高等数学-第1章-1(函数及其性质)

第1章函数与极限高等数学1.1函数及其性质1.1.1集合的概念1.1.2集合的运算1.1.3区间与邻域1.1.4函数的映射1.1.5函数的概念1.1.6函数的特性1.1.7反函数与复合函数1.1.8函数的四则运算1.1.9初等函数1.1函数及其性质1.1.5函数的概念1.1.1---1.1.4集合集合的运算区间与邻域函数定义函数定义域和函数图形表示函数关系式的方法及分段函数1.1.9初等函数1.1.8函数的四则运算复合函数1.1.6函数的特性函数的单调性函数的有界性函数的奇偶性函数的周期性1.1.7反函数与复合函数反函数基本初等函数初等函数函数及其性质习例1-7函数及其性质映射1.1.1集合1.集合的概念集合与元素之间的关系a∈M：若a是集合M的元素；集合：具有某种特定性质的事物的总体，集合通常用A，B，S，T等表示.元素:组成这个集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分为有限集和无限集.aM:若a不是集合M的元素.2.集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来,}{1,2,3,N},,,{dcbaA描述法:}|{PxxM具有性质}01|{2xxB如:N={全体自然数}，Z={全体整数}，Q={全体有理数}，R={全体实数}.3.常用的集合记号如果，必有,则称A是B的子集，记为AxBx.BA不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ.Φ是任何集合的子集.4.集合的关系A集合:集合A内排除0与负数的集.若，且,则称A是B的真子集,记为.BABAAB若，且,则称A与B相等,记为.BAABBA1.1.2集合的运算是二个集合，定义设A、B}{BxAxxBA或(A与B的并集)}{BxAxxBA且(A与B的交集)}{\BxAxxBA且(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.CAAI\A的余集或补集记为:例如:在实数集R中}10{xxA}10{xxxAC或则有设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律ABBAABBA,（2）结合律)()(CBACBA)()(CBACBA)()()(CBCACBA（3）分配律)()()(CBCACBACCCBABA)(（4）对偶律CCCBABA)(以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明:CBAx)(BAxAx且BxcAx且cBx,ccBAx;)(cccBABA反之,ccBAxAx且BxBAx,)(cBAx.)(cCCBABA注:在以后的证明中,“”表示“推出”(或“蕴含”),“”表示“等价”.cAx且cBx于是.)(cCCBABA}},{{ByAxyxBA且直积或Descartes乘积例如：RyRxyxRR,),(为xOy面上全体点的集合，记为.2R{1,2},{1,2,3},.ABAB练习:求1.1.3区间和邻域Oab],[ba设a,b∈R,且ab,}|{),(bxaxba开区间}|{],[bxaxba闭区间半开区间}|{],(bxaxba}|{),[bxaxba和称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度.以上这些区间都称为有限区间.),(baOab无限区间}|{),[axxa}|{),(axxa}|{),(Rxx}|{),(bxxb}|{],(bxxb用数轴可以表示区间,区间常用I表示.Oa[,)a引进记号：+∞－∞∞（读作正无穷大）(读作负无穷大）（读作无穷大）b(,]bO(2)点a的去心邻域：(,){|0||}Uaxxa注若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为邻域xaa点a的左δ邻域:开区间(a-δ,a)点a的右δ邻域:开区间(a,a+δ)(1)设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为U(a,δ)，即}|||{}|{),(axxaxaxaU点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径.a()Ua1.1.4映射1、映射的概念定义设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则,使得对X中每个元素x,按法则,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称为从X到Y的映射,记为fff,:YXf其中y称为元素x(在映射下)的像,记作,即,f)(xf)(xfy元素x称为元素y(在映射下)的一个原像;f集合X称为映射的定义域,记作,即ffD;XDf.)()(XxxfXfRfX中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作或,即f)(XffR注意:(1)一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域;XDf集合Y,即值域的范围:;YRf对应法则,f使对每个,Xx有唯一确定的)(xfy与之对应.(2)对每个,元素x的像y是唯一的;Xx对每个,元素y的原像不一定是唯一的;fRy映射的值域是Y的一个子集,即,不一定.fYRffRYRf例1*设,对每个,.RRf:Rx2)(xxf显然,是一个映射,的定义域,值域ffRDf,0yyRf它是R的一个真子集.对于中的元素y,除y=0外,它的原fR像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2*设,1),(22yxyxX,1)0,(xxY,:YXf对每个,有唯一确定的Xyx),(Yx)0,(与之对应.显然,是一个映射,的定义域,值域ffXDf.YRfOxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.例3*设],1,1[]2,2[:f对每个,]2,2[x.sin)(xxff这是一个映射,其定义域,值域]2,2[fD].1,1[fR为X到Y上的映射（或满射）：f为X到Y上的单射：f是从集合X到集合Y的映射，f若,YRf都是X中某元素的像.即Y中任一元素y若对X中任意两个不同元素,21xx它们的像).()(21xfxff为一一映射（或双射）：若映射既是单射，又是满射.f如:例1*既非单射,又非满射;例2*不是单射,是满射;例3*既是单射,又是满射,因此是一一映射.映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.2.逆映射与复合映射f是X到Y上的单射,设即于是,可以定义一个从fR到X的新映射g,,:XRgf对每个,fRy规定,)(xyg这x满足.)(yxf这个映射g称为f的逆映射,记作,1f其定义域,1ffRD值域.1XRf注意:只有单射才存在逆映射.例1*,2*,3*中,只有例3*有逆映射:],1,1[,arcsin)(1xxxf11[1,1],[,].22ffDR设有两个映射,:,:21ZYfYXg其中.21YY则可以确定一个从X到Z的映射,称为复合映射,记作,gf即,:ZXgf.,)())((Xxxgfxgf注意:映射g和f构成复合映射的条件:.fgDRfggf两者也不同时有意义.例4*设有映射],1,1[:Rg对每个,sin)(,xxgRx映射],1,0[]1,1[:f对每个.1)(],1,1[2uufu],1,0[:Rgf)(sin)())((,xfxgfxgfRx.cossin12xx1.函数的概念因变量自变量)(xfy定义设数集，则称映射为定义D上的函数，通常简记为D称为定义域,记作,即.RDRDf:fDDDf对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).DxfR函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作或f(D),即}.),({)(DxxfyyDfRf1.1.5函数的概念函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.fD如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.判断函数f与g是否是同一函数？3334221)(,)()3()(,)()2(lg2)(,lg)()1(xxxgxxxfxxgxxfxxgxxf对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程222ayx给出的对应法则中,附加“”的条件,0y就可得到一个单值分支.221xayy如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．222ayx例如:(2)自然定义域.理论研究中,对应法则是用数学公式表示的函数,这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所有值构成的实数集.即当函数由公式（表达式）给出时，使公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域.如：分式的分母不为0；;0)(,,)(2xfnxfn要求为正整数;0)(,10),(logxfaaxfa且要求;1)(),(arccos),(arcsinxfxfxf要求.0)(,)()(xfxfyxg要求(3)定义域的表示法：不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.2.函数定义域的确定(1)由实际问题决定.例求函数的定义域解：0104)1(2xx要求21x所以函数的定义域为(1,2].11111)()2(.xxf114)1(2xxy要求)2(0x011x01111x.21,1,0x3.函数的图形.)(}),(),{(的图形称为函数点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD4.分段函数对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表达式不同，这种函数称为分段函数.(1)绝对值函数0,0,xxxxxyoxy(2)符号函数0,10,00,1sgnxxxxy11xyo(3)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(4)Dirichlet(狄利克雷)函数是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(5)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg(6)整标函数)(nfy以自然数为自变量的函数:图形为一些离散的点构成.1.1.6函数的特性1.函数的单调性,),()(上有定义开或闭有限或无限在区间设函数Ixfy有若对任意,,,2121xxIxx))()(()()(2121xfxfxfxf或则称f(x)在I上严格单调上升或严格单调递增（严格单调下降或严格单调递减）.有若对任意,,,2121xxIxx))()(()()(2121xfxfxfxf或则称f(x)在I上单调上升或单调递增(单调下降或单调递减).单增和单减的函数统称为单调函数，I称为单调区间.由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数.如xy2.函数的有界性,)(,,0,成立有若MxfXxMDX..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf,)(,,0,11成立有即若MxfXxMDX.)(上无界在则称函数Xxf通常函数的有界性与区间有关，,12xy如.)1,101[,)1,0(上有界而在内无界在3.函数的奇偶性偶函数图形关于y轴对称有对于关于原点对称设,,DxD)()(x