现代电路理论12讲

任课教师黄丽莲哈尔滨工程大学21号楼210Email:[e-mail]:82519803-60313946083155参考书目：(1)杨晓松李清都.混沌系统与混沌电路.北京：科学出版社.2007(2)高金峰.非线性电路与混沌.北京：科学出版社.2005(3)韩茂安顾圣士.非线性系统的理论和方法.北京：科学出版社.2001(4)刘秉正彭建华.非线性动力学.北京：高等教育出版社.2004(5)邱关源现代电路理论.北京：高等教育出版社.20041.非线性电路中的混沌现象引言非线性电路的分岔非线性电路中的拟周期现象非线性电路中的混沌现象2.混沌及其特征引言混沌的定义李亚普诺夫指数混沌产生的机理与条件3.Lorenz系统梅利尼科夫方法RLC串联电路中的混沌5.席尼尔科夫定理及其应用席尼尔科夫定理席尼尔科夫意义下的混沌电路——考毕兹振荡器6.常用数值方法引言牛顿—拉弗森方法解轨线（轨道）积分算法频谱分析及相关数据处理李亚普诺夫指数计算7.典型混沌电路分析示例电路模型与方程平衡点及其稳定性Hopf分岔与中心流形8.席尼尔科夫意义下的混沌特征值和特征空间同宿轨道及其计算席尼尔科夫意义下的混沌9.拓扑等价与拓扑共轭10.计算机模拟和电路实验1.1引言非线性动态电路的稳态解有四种形式，除了前面介绍的平衡点、周期解两种形式，另外两种形式分别是拟周期解与混沌解。电路中的拟周期解早已为人们所了解，但非线性电路中的混沌解只是在近20年才为人们所认识。长期以来，人们认为一个确定的电路中，其解也是确定的，即在两组相近的初始条件下，其解也是相近的。这里所谓确定的电路，是指电路中的所有元件参数全是确定的，不包含任何随机因素。但在近20年中发现，确定的非线性电路中存在着一种特殊的稳态解，该种形式的解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的振荡行为，这种非线性电路的解就称为混沌。一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧(bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。由于非线性电路中的分歧现象与非线性电路中产生拟周期解与混沌有密切的关系，本章将非线性电路中的分歧现象与拟周期解及混沌一并介绍。1.2非线性电路的分岔当电路参数发生改变，特别是微小的改变时，就能引起电路的解或相图发生质的变化。这种现象在非线性动力学理论中称为分歧。能引起解发生质的变化的参数称为分歧参数，产生质的变化的参数值称之为分歧点。在特定的非线性电路中，电阻、电容、电感、放大器的放大倍数等都可能是分歧参数。非线性电路中的分歧问题可以分为静态分歧、动态分歧，也可以按局部分歧和全局分歧分类。静态分歧：是指系统的平衡点数目和稳定性的变化。动态分歧：是指在相平面上轨道定性性质的变化。局部分歧：是讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。全局分歧：是研究大范围内拓扑结构的变化。静态分歧又可以分为平衡点的鞍结分歧、跨临界分歧、叉式分歧等等。动态分歧可以分为霍普夫分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。下面以几个典型的例子来讨论分歧现象。首先应注意的是，无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf)分歧，只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。为了说明上述不同的分歧情况，考虑一阶电路如图1-1所示，非线性电阻的伏安特性为压控的，且i=v2，以电容电压（vc=v）为状态变量的电路方程为2vIdtdvCs图1-1具有鞍结分歧的电路即)(12vICdtdvs令时，有sIvxC,,12xx（7-1）可见该电路的平衡点随参数的变化而变化。特别当＝0时，x=0是该电路的一个非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式给出，可以用平衡点随分歧参数变化的图1-2表示。这种平衡点或方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。02x图1-2鞍结分歧由图1-2可见，当0时，电路没有平衡点，即电路不存在工作点；当＝0时，有一个平衡点，而当0时，有二个平衡点，分别为。容易判断是稳定的，是不稳定的。这表示参数产在=0的附近变化时，电路平衡点的个数和轨道都发生了定性的变化，即发生了分歧，分歧点是（x，）=（0，0）。这种分歧称为鞍结分歧。2,1x1x2x鞍结分歧过程可以从电路的工作点的变化过程来解释。按照工作点的求解方法，将图1-1中电容开路，有图1-3(a）所示电路及图1-3(b)求工作点的示意图。从图1-3(b)可以看出，当电流源电流IS0时，电路工作点不存在；当IS＝0时，有一个工作点；当IS0时，有两个工作点。且工作点Q1处的动态电阻为正值，所以，该工作点是稳定的；工作点Q2处的动态电阻为负值，该工作点是不稳定的。图1-3静态工作点及求解电路这种分歧称为鞍结分歧的原因如下：对0时，无平衡点；对＝0时，有一个在原点处称为鞍结点的平衡点；对0时，有两个平衡点，这两个平衡点一个是稳定结点，一个是鞍点。为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化，考虑图1-4所示二阶电路。此电路是图1-1所示一阶电路增加了一个RL电路，仍设非线性电阻的伏安特性为i＝v2，以电容电压和电感电流为状态变量列出状态方程：LLCSCRidtdiLvIdtdvC2取归一化值，设，则有：LCSiyvxIRLC,,,1,1,1ydtdyxdtdx2(1-2)当＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清楚地表示出来，如图1-5所示。图1-4鞍结分歧图1-5鞍结分歧相图过临界分歧可以用图1-6所示一阶电路来说明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且i＝v2，以电容电压为状态变量的方程为图1-6过临界分歧一阶电路2vvdtdvC即)(12vvCdtdv令，则有vxC,12xxdtdx（1-3）式（1-3）在＝0时，x=0的点是一个具有零特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式给出，如图1-7所示。02xx图1-7过临界分歧从图中可见，当0时，电路有两个平衡点x1=0和x2=。容易判定，x1=0的平衡点是稳定的。x2=的平衡点是不稳定的；当＝0时，仅有一个稳定平衡点；当0时，与0时相同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性质发生了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，x2＝是稳定的平衡点。在=0的邻域内发生变化时，会导致平衡点的个数和稳定性发生变化，因此，点（x，）=(0,0)就是分歧点，这种分歧称为过临界分歧。与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路静态工作点的概念解释。当电容用开路代替后，受控源和非线性电路的伏安关系分别画于图1-8。当＝0时，仅有工作点Q0，当0时，有工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻为正值；当＜0时，有工作点Q2和Q0，且Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡点稳定性质转变的本质。图1-8静态工作点讨论叉形分歧的电路仍如图1-6所示，但非线性电阻的伏安特性为i＝v3；以电容电压为状态变量时，状态方程为3vvdtdvC同时令，有如下方程vxC,13xxdtdx（1-4）可以验证点（x，）=（0,0)是具有零特征值的非双曲平衡点。当时电路的平衡点随参数变化，由式给出，如图1-9所示。当＜0时，电路有一个平衡点，x＝0，且是稳定平衡点；当＝0时，x＝0也是一个平衡点，仍是稳定的；当0时，电路有3个平衡点，这3个平衡点分别是和；003xx00x2,1x此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化，时的x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随的变化，稳定的平衡点在x-平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-10所示。0图1-9叉形分歧图图1-10叉形分歧静态工作点当时，仅有工作点Q0；当0时，有3个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图1-11所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放大器的电压放大倍数k29时，该电路中将产生稳定的正弦振荡，振荡频率，荡幅度大小由放大器的饱和特性决定。0RCf260为用分歧理论分析该电路，设放大器的转移特性为33330)(mvkvvgv显然m＝0时，放大器是线性的，且是反相的，放大倍数为k。式中引人的非线性项是为了使放大器具有饱和特性。分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程)(1)2(1)2(132332120211vvRCdtdvvvvRCdtdvvvvRCdtdv（1-5）图1-11滞后移相振荡电路将放大器的转移特性代入上式，并令将时间归一化后，有RCt323321233321122vvddvvvvddvmvkvvvddv（1-6）点（v1,v2,v3）=(0,0,0)是该电路的唯一平衡点。在平衡点处的线性化方程为32132111012112vvvkddvddvddv系数矩阵的特征方程为016523k（1-7）当k=29时，，有一对实部为零的共扼复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当k29时，，且a(k)0，w(k)0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；6,53,21j)()(,03,21kjwka当k29时，，但a（k）＞0,即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k＝29是一个分歧点，当k从k29增加经过k=29到k29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf分歧。放大器放大倍数k是分歧参数，当k29时出现周期振荡，振荡的周期。式中的为特征方程式在k=29时的纯虚根的模值。)()(,03,21kjwka6/2RCT61-3非线性电路中的拟周期现象非线性动态电路的解除了平衡点、周期解外，还有一种可以用解析函数表达的解，即拟周期振荡。图7-12所示线性电路中有两个正弦激励源，其角频率分别是和。线性电路的微分方程可以写为212211[()()]CCCSSdvdvRvvtvtdtLdtLCLC2上式可以改写为2201222cos()cos(2)CCCmmdvdvkwvVtVtdtdt（1-8）式中分别为两个激励的等效振幅。2120,,2,1mmVVLRkLCw图1-12两个激励的RLC电路电路的稳态响应为)2cos()cos()(2211tAtAtvC（1-9）上式表明，线性RLC电路的稳态响应由两个周期振荡合成。但由于两个周期振荡的频率比为一无理数，因此，其合成响应不是周期的。另一方面，任给一个，可以找到两个整数m和n，使得成立。因而式（7-9)可以写为02nm)()cos()cos()(2211OtnmAtAtvC（1-10）上式前两项之和为一周期响应，周期为。nT2式（1-10）表示的响应则不是周期的，但与周期为的周期响应相差无几。故式（1-9）表示的响应称为拟周期响应。拟周期函数的数学定义为：如果连续