离散时间信号与系统的z域分析

第6章离散时间信号与系统的z域分析6.1离散信号的z变换6.2单边z变换的性质6.3z反变换6.4离散系统的z域分析6.5系统函数H(z)6.6系统函数零、极点分布与时域响应特性的关系6.7s域与z域的关系6.8离散系统的稳定性6.9离散系统的频率特性本章学习目标（1）掌握z变换与z反变换。（2）掌握离散系统的z域分析方法。（3）掌握离散系统函数。（4）熟悉z变换的主要性质。（5）熟悉离散系统函数零、极点的概念。（6）了解离散系统稳定性和频率响应特性的概念。6.1离散信号的z变换6.1.1z变换的定义6.1.2z变换的收敛域6.1.3常用基本离散序列的单边z变换返回首页6.1.1z变换的定义1．从拉氏变换到z变换2．z反变换式1．从拉氏变换到z变换nssnsTsnTtnTfnTttfttftf)()()()()()()(-n-nLLssnTsssssenTfnTtnTftfsF)()()()()(2．z反变换式根据复变函数中的柯西定理：00021kkjdzzckcmnncmdzzznfdzzFz101)()(返回本节6.1.2z变换的收敛域nnznf)(0]Re[z]Im[zj]Im[zj]Re[z]Re[z]Im[zja0aaabb0aa图6-1例6-1图图6-2例6-2图图6-3例6-3图返回本节6.1.3常用基本离散序列的单边z变换1．指数序列00)()(nnnnnnazzzazanuazFZ即：azznuan)()(nuan2．单位阶跃序列u(n)1)(0zzzzFnn即：1)(zznu3．单位冲激序列1)()(nnznzF即：1)(n即：用同样的方法可得：1cos2sin)()sin(2zzznun1cos2)cos()()cos(2zzzznun表6-1常用离散序列的z变换对返回本节6.2单边z变换的性质6.2.1线性6.2.2移位6.2.3z域尺度变换（序列指数加权）6.2.4Z域微分（序列线性加权）6.2.5初值定理6.2.6终值定理6.2.7时域卷积定理返回首页6.2.1线性)()()()(22112211zFazFanfanfa返回本节6.2.2移位1．右移位2．左移位1．右移位设f(n)是双边序列，其单边z变换为f(z)，则对于任意正整数m，有：1)()()()(mkkmzkfzFznumnf2．左移位设f(n)是双边序列，其单边z变换为f(z)，则对于任意正整数m，有：10)()()()(mkkmzkfzFznumnf返回本节6.2.3z域尺度变换（序列指数加权）若，则：)()(zFnf)()()(azFnfaazFnfann6.2.4Z域微分（序列线性加权）若，则：)()(zFnf)()(zFdzdznnf返回本节6.2.5初值定理返回本节6.2.6终值定理返回本节6.2.7时域卷积定理表6-2常用z变换的基本特性和定理返回本节6.3z反变换6.3.1幂级数展开法（长除法）6.3.2部分分式展开法返回首页6.3.1幂级数展开法（长除法）01110111)()()(azazazbzbzbzbzNzMzFnnnmmmm321221112793127279993333zzzzzzzzzzz返回本节6.3.2部分分式展开法z变换式F(z)通常为z的有理函数分式，即：01110111)()()(azazazbzbzbzbzNzMzFnnnmmmm下面将介绍几种情况下，由z变换式F(z)求序列信号f(n)的步骤。返回本节6.4离散系统的z域分析6.4.1零输入响应的Z域解6.4.2零状态响应的Z域解6.4.3全响应的Z域解返回首页6.4.1零输入响应的域解设描述离散系统的差分方程为：离散系统的零输入响应就是齐次差分方程：MrrNkkrnxbknya00)()((6-39)0)(0Nkkknya(6-40)返回本节6.4.2零状态响应的z域解离散系统的零状态响应就是当系统的初始状态为零时，即：)(nyzs0)1()2()1()(yyNyNy对应的零状态响应即：)()(1zYnyzszsZ返回本节NkkkMrrrzszazbzXzYzY00)()()(6.4.3全响应的z域解返回本节6.5系统函数H(z)6.5.1系统函数的定义6.5.2系统函数的求解方法返回首页6.5.1系统函数的定义由第5章离散系统的时域分析可知，离散系统的零状态响应为：)()()(nxnhnyzs(6-46)上式两边取z变换，并利用时域卷积定理，得：)()()(zXzHzYzs)()()(zXzYzH改写成：6.5.2系统函数的求解方法（1）根据定义求解。（2）根据求解。（3）已知差分方程，取z变换，求h(z)。（4）若已知系统的模拟框图，则根据其输入激励与输出响应的关系，利用z变换求解。)()()(zXzYzH)]([)(nhzHZ)(nx)(ny41z-1z-1图6-4例6-22图返回本节6.6系统函数零、极点分布与时域响应特性的关系6.6.1系统函数的零、极点与零、极点图6.6.2系统函数的零、极点分布图与时域特性的关系返回首页6.6.1系统函数的零、极点与零、极点图对于一个线性时不变离散系统，其系统函数h(z)一般表示为z的有理分式，即：NkkMrrNkkkMrrrzpzzGzazbzXzYzH111100)1()1()()()((6-49)例如某离散系统的系统函数为：)4133()21(2)(222zzzzzzH则该系统函数的零、极点图如图6-5所示。011]Re[z]Im[zj5.02(2)图6-5的零、极点分布图返回本节6.6.2系统函数的零、极点分布图与时域特性的关系系统函数h(z)与单位样值响应h(n)是一对z变换，即：)]([)()]([)(1zHnhnhzHZZ因此，可以从系统函数h(z)的零、极点分布情况确定出单位样值响应h(n)的性质。系统函数h(z)还可以写成：NkkMrrNkkMrrpzzzGzpzzGzH111111)()()1()1()((6-50)三种情况的极点分布与h(n)的对应关系。1．单位圆内极点2．单位圆上极点3．单位圆外极点011]Re[z]Im[zj图6-6h(z)极点分布与h(n)的关系返回本节6.7s域与z域的关系由z变换的定义可知，复变量z与s的关系为：将s表示成直角坐标形式为：zTsezssTsln1(6-53)js(6-54)返回首页将z表示成极坐标形式为：jTjTTjreeeezsss)((6-55)ssTTers2(6-56)返回本节6.8离散系统的稳定性nnh)((6-57)返回首页)(nx)(ny)(nq)1(nq3P4Pz-1图6-7例6-23图返回本节6.9离散系统的频率特性6.9.1频率特性6.9.2频率特性的几何确定返回首页6.9.1频率特性离散系统的频率特性是指离散系统在正弦序列激励或作用下的稳态响应随频率变化的特性。)sin(sTnA)cos(sTnAsssTjnTjnjTnjeAeAeAenx)()((6-62)00)(0))(()()()()()()(kkTjTjnkTknjksssekheAeAkhknxkhnxnhny(6-63)返回本节考虑复指数序列作用下的稳态响应。6.9.2频率特性的几何确定已知系统函数H(z)在z平面上零、极点的分布，通过几何方法可以简便而直观地求出离散系统的频率响应特性，即：NkkMrrpzzzGzH11)()()(则：)()()()()(11sTjNkkTjMrrTjTjTeHpezeGeHssss令：ksrsjkkTjjrrTjeBpeeAze于是幅频特性为：NkkMrrTjBAeHs11)((6-67)相频特性为：NkkMrrsT11)((6-68)011]Re[z]Im[zj1p2p2z1z12121B2B1A2AsTDsTje图6-8频率特性的几何确定法)(nx)(ny5.0z-1z-1图6-9例6-24图011]Re[z]Im[zj1121B2B1AsT图6-10频率特性的几何确定法0sT32)(sTjeH2)(sTsT212230223030（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线图6-11频率特性曲线返回本节本章小结（1）z变换建立了离散时间信号与z域之间的对应关系，成为离散时间信号与系统分析的一种有力的数学工具。与拉氏变换相似，z变换是一个幂级数，亦存在收敛域的问题，所以收敛域应当作为z变换的一部分才能使序列与其z变换是—一对应的关系。（2）z变换的性质同样地反映出了信号的时域与z域之间的关系，熟练掌握z变换的基本性质及常用信号的z变换将有利于z变换的应用。（3）z域分析法利用z变换把线性差分方程转换为z域的代数方程来求解，并通过z反变换求出系统响应的时域解。（4）系统函数h(z)等于离散系统零状态响应象函数y(z)与系统激励的象函数x(z)之比。（5）系统函数h(z)的零、极点分布与s域的零、极点分布存在着一定的对应关系。