离散时间信号和系统-正在为您选择最快的线路

1第一章离散时间信号和系统1.1离散时间信号1.2离散时间系统1.3线性时不变系统的差分方程描述1.4连续时间信号的数字处理X2第一章学习目标•掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。•掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。•理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。•了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。X31.1离散时间信号•离散时间信号及其时域表示•序列的基本运算•常用序列•序列的周期•用单位脉冲序列表示任意序列•序列的能量与功率X4•离散时间信号(序列)在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。在数学上可用时间序列{x(n)}来表示。其中x(n)代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号，n的可取值范围为-∞﹤n﹤∞的整数。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。离散时间信号及其时域表示X5离散时间信号及其时域表示•离散时间信号的时域表示1、枚举式：例如：2、公式（封闭式）：例如：},6.5,1,2.7,6,0.0,53.2,7.8,5.1,{)}({nx零点位置)()()(1,01,0)(sin)(njxnxnxbnbananxnnnxIRnnX6离散时间信号及其时域表示3、图形式：例如：图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。X7序列的基本运算•序列的加减将两序列序号相同的数值相加减，即：)()()(nynxnzX8序列的基本运算z(1)=x(1)+y(1)…z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)X9序列的基本运算•序列的乘积将两序列序号相同的数值相乘，即：)()()(nynxnzX10序列的基本运算z(1)=x(1)·y(1)…z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)X11序列的基本运算•序列的延时将序列全体在时间轴上移动，即：时左移，时右移，如：)()(0nnxny00n00nX12序列的基本运算•序列乘常数•序列的反褶•序列的差分同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向差分。前向差分后向差分)()(naxny)()1()(nxnxnx)1()()(nxnxnx)2()1(2)()]([)()1()(2nxnnxnxnxnxnx)()(nxnyX13序列的基本运算•序列的抽取将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉其中的M-1个样点而形成的新序列。即：例：求如下图所示的序列x(n)，经M=3的抽取运算后所形成的新的序列y(n)。)()(nMxnyX14序列的基本运算y(-1)=x(-1·3)y(0)=x(0·3)y(1)=x(1·3)解：…X15序列的基本运算•序列的插值在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。即：显然序列的抽取运算与序列的插值互为逆运算。其它02,,0)/()(LLnLnxnyX16序列的基本运算序列y(n)是对序列x(n)的插值序列x(n)是对序列y(n)的抽取X17序列的基本运算0233505)()()(312113nnnyanxanynn）（0002)()(121nnnxnyn）（解：5053)5()()2()5(12nnnxnynX18常用序列•单位（脉冲）序列-201mn1-1…1-2-1012nX19常用序列•单位阶跃序列...0123nu(n)1(n)与u(n)的关系X20常用序列•矩形序列0123n14与的关系:X21常用序列•矩形序列，式中ω0为数字频率X22常用序列复指数序列实部与虚部示意图：X23常用序列则有：njnnx00sincos)(令中σ=0njenenxnn00sincos)(余弦与正弦序列示意图：X24序列的周期性•定义若序列x(n)满足且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为以N为周期的周期序列。)()(NnxnxnX25序列的周期性•正弦序列及其周期按周期序列的定义，其中k为整数，除非p=2kπ/ω0为整数。否则正弦序列没有周期。])(sin[)2sin()sin()(02000knknnnxX26序列的周期性求序列的周期。)sin()(34nnxN解：)](sin[)2sin()sin()(~46343434knknnnx324620Nkkkp当取2时，可得到的最小正周期数3，即序列的周期。kp)(nx3NX27用单位（脉冲）序列表示任意序列任意序列都可用单位（脉冲）序列表示成样点值的加权和形式，即：例如对序列用单位脉冲序列的加权可表示为：)(nx)(nmmnmxnx)()()(其他01010)(nanxnX28序列的能量与功率•有界信号：若存在有界常数B，使序列满足则称序列为有界信号。•序列的总能量有界信号的总能量定义为序列各样点值的平方和，即：当时，称信号为能量有限信号。)(nxBnx)(nnxE2)(X29序列的能量与功率若序列的长度为有限长时，只要信号为有限值，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。•序列的平均功率1、对非周期序列，若序列为无限长，其平均功率定义为：)(nxX30序列的能量与功率能量为有限值，平均功率等于零的信号称为能量信号。能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。2、对周期为N的周期序列，其平均功率定义为：显然，周期序列通常为功率信号)(~nxX31序列的能量与功率设离散信号的表达式为试判断该信号是能量信号还是功率信号。)(nx)()1(6)(nunxn解：∵该信号为有界信号，其总能量为：可见信号的能量是无限的，但其功率为：∴该信号是功率信号。X321.2离散时间系统•离散时间系统的定义和性质•线性时不变离散系统•线性时不变离散系统的基本元件•单位脉冲响应与卷积•序列的相关性•离散时间系统的因果性与稳定性X33离散时间系统的定义和性质•定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。•齐次性：ax(n)ay(n)•叠加性：x1(n)+x2(n)y1(n)+y2(n)•线性性：a1x1(n)+a2x2(n)a1y1(n)+a2y2(n)•时不变性(延迟性或移不变性)：x(n-m)y(n-m)•差分性：x(n)y(n)•累加和性：nmnmmymx)()(X34线性时不变离散系统•定义同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即：•线性性)(ny)(nxT)()(nxTnyX35线性时不变离散系统•时不变性例：试证明以下系统为线性时不变系统。证明：1、线性性设有序列和及常数和，则有)(1nx)(2nx1a2a∴该系统为线性系统。X36线性时不变离散系统2、时不变性：nmkmxknxT)()]([)()()(knymxixknmkni∴系统为时不变系统。在上式中令，则上式右边变为：kmiX37线性时不变离散系统的基本元件•基本元件1、加法器2、系数乘法器3、延时器X38线性时不变离散系统的基本元件如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学表达式为y(n)=x(n)+ay(n-1)X39单位脉冲响应与离散卷积•单位脉冲响应•线性时不变离散系统任意激励下的响应与单位脉冲响应之间的关系X40单位脉冲响应与离散卷积•离散卷积的性质与计算1、卷积的性质：可交换性：结合性：X41单位脉冲响应与离散卷积分配性：X42单位脉冲响应与离散卷积2、卷积的计算包括以下四个步骤：反褶、移位、相乘、求和1)反褶，先将x(n)和h(m)的变量n换成m，变成x(m)和h(m)，再将h(m)以m=0为轴反褶成h(-m)。2)移位，将h(-m)移位n，变成h(n-m)，n为正数，右移n位，n为负数，左移n位。X43单位脉冲响应与离散卷积3)相乘，将h(n-m)与x(m)在相同的对应点相乘。4)求和，将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的卷积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷积值y(n)。X44单位脉冲响应与离散卷积nnnhnnnnx其他其他0201)(0312)(31)()()()()(mmnhmxnhnxny求：X45单位脉冲响应与离散卷积解：先给出x(m)和h(m)的图形x(m)01231/213/2m012m1h(m)0－1－2m1h(－m)X46单位脉冲响应与离散卷积x(m)01231/213/2m－101/23/235/23/20X47单位脉冲响应与离散卷积012345y(n)n1/23/235/23/223123)5(251012311021)4(312311121)3(2311121)2(2110121)1(yyyyyX48序列的相关性•定义：两个序列x(n)和y(n)的线性互相关序列rxy(m)为式中m代表两个序列的相对位移。式中rxy(m)的下标顺序xy表示在上述互相关运算中，x(n)在时间上保持不变，而对y(n)进行相对移位。nnxynymnxmnynxmr)()()()()(X49序列的相关性1、上式中代表两个序列和间的相对位移。2、序列的互相关运算用于比较两个序列之间的相似性，并根据这种相似性进行信号的检测和测量。3、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。X50序列的相关性如果反过来y(n)在时间上保持不变，而对x(n)进行相对移位,则结果ryx(m)为)()()()()()(mrkxmkymnxnymrxyknyxX51序列的相关性•线性自相关若x(n)=y(n)，则称为x(n)的线性自相关，即显然，当m=0时，有nxxmnxnxmr)()()(Enxrnxx)()0(2X52序列的相关性卷积运算与相关运算的关系上式说明序列y(n)相对参考序列x(n)的互相关运算，可以将y(n)通过具有单位脉冲响应为x(-n)的线性时不变系统得到。nnnxymxmynmxnymnxnymnynxmr)()()]([)()()()()()(X53离散时间系统的因果性与稳定性•系统的因果性因果性是指系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。系统的因果性表明了系统的物理可实现性。如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是物理不可实现的。•线性时不变因果系统的充要条件为h(n)=h(n)u(n)X54离散时间系统的因果性与稳定性证明：充分性若n0,h(n)=0，则利用卷积公式，对于任何输入x(n)，其输出为对某个时刻n0，其输出y(n0)为上式表明n0时刻的输出y(n0)只与m≤n0的所有x(m)有关，而与mn0的x(m)无关。因此，该系统为因果性系统。mmnhmxny)()()(0)()()(00nmmnhmxnyX55离散时间系统的因果性与稳定性必要性：采用反证法。假定系统为因果性系统，但在n0时h(n)≠0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为这样，由于n0时h(n)≠0，上式中右边的第二项和式