第1章 应用时间序列分析0

AppliedEconometricTimeSeries应用时间序列分析王雪标东北财经大学数学与数量经济学院第一章引言对某些随机变量来说，在任一时刻都可以对其进行观测，并得到一系列数据。这时称为连续随机过程，记()xt。然而，在经济学中，大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。这时称为离散时间序列，记tx。一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如，每日某种股票的收盘价、每月失业人数，每年GDP，…，等等。对一个随机过程进行观测而得到的时间序列tx可称做为这个随机过程的一个实现。时间序列分析的基本目的是利用随机过程的观测序列（实现），对这个随机过程的基本特征、性质做推断。在分析中的第一步通常是形成一个统计量，分析数据的统计特征，根据统计特征，利用数据构造模型，这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，也可以建立一系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、周期性部分和不规则性部分，对经济现象进行解释、假设检验和预测。趋势性方程：10.1tTt季节性方程：1.6sin(6)tSt无规则性方程：10.7tttII，t为t期随机扰动项。这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机扰动t的函数。时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程，估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。最简单的时间序列是白噪声（whitenoise）白噪声t是最基本的时间序列，满足下面条件：1）12()(,,)(1tttttEEEt处所有信息)02）()cov()0ttjttjE3）12()(,,)(1tttttVarVarVart处所有信息2)前两个条件说明，t不存在序列相关(serialcorrelation)，第三个条件说明t是条件同方差（conditionalhomoskedasticity）。p阶自回归过程)(pAR在经济系统中通常有大量的时间序列有下面形式：t处值=1t处值的期望+误差项如果将1t处值的期望取为1t期值的固定比例，误差项取为白噪声序列。这时就是1阶自回归。1tttyy如果将1t处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。p阶自回归过程（也叫线性差分方程）1ptjtjtjyy或1ptjtjtjyy定义滞后算子B如下：1ttByy,212ttttByBByByy,,jttjByy,jttjByy上述p阶自回归过程可写成()ttaBy,其中1()1pjjjaBB这个自回归过程的一般解是12tttyyy这里1ty是齐次方程()0taBy的解，2()ttybB是特解。这里的滞后算子表示为：1()1pjjjaBB，()1()bBaB方程pjjjzz101)(称为()0taBy的特征方程。对于一阶齐次方程1ttyy解为ttyA，A是依赖于初值的常量。对于二阶齐次方程1122tttyyy则，可能的解的形式为1122tttyAA代回方程得1212111121221222(1)(1)0ttAA，如果1112,是方程212()10azzz的根，则1122tttyAA确实是方程1122tttyyy的解。可利用初值的条件，确定12,AA。对于一般的p阶方程11ptjtjyy有解1pttkkkyA这里1k是方程()0az的根（假设没有重根）。如果1k是复根，则有共轭对应，形为cos()tkkBkt，对于充分大的t，解的形式将由00tA所控制，0max(,1,2,,)kkp。如果01，解是平稳的。如果01，解是（发散的）爆炸性的。解是平稳的充分必要条件是：()0az的根在单位园1z之外，把它称为平稳性条件。本课程将介绍一维和多维时间序列的建模方法，包括预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的还是随机性的）；多维向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。虽然时间序列分析的主要内容是预测，由于大量经济变量的动态变化特征，使我们可以利用时间序列（随机差分方程）来分析验证有关经济理论。看下面三个例子：1．随机游动假说：随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该是不相关的、有零均值。如果已知在t天买一份股票，在下一天卖掉可以得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。同样，如果一份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。这个模型认为：股票价格应当满足随机差分方程11tttyy或11tty这里ty在t天一份股票的价格，1t有零均值、不相关的随机扰动项。现在考虑更一般的随机差分方程1011tttyy检验随机游动假设就是检验限制条件010，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。2导出（reduced）型方程和结构方程：将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题，考虑Samuelson(1939)的经典模型：tttyci（1.1）1,01,ttctcy(1.2)1(),0tttiticc(1.3)这里,ttyc和ti表示在t期实际GDP、消费和投资。在这个Keynesian模型中，,ttyc和ti是内生变量。前一期GDP1ty和前一期消费1tc被称为前定的或滞后的内生变量。itct,称为消费和投资的零均值扰动项，,是要估计的参数。第一个方程说明：总产出（GDP）等于消费与投资之和。第二个方程说明：消费等于前一期的GDP的比例加上随机扰动项。第三个方程是加速原理：投资和消费变化成比例，消费的增长促使了新的投资。误差项itct,代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。方程（1.1）是结构方程（内生变量与其它内生变量当期之间的关系），内生变量ty依赖于其它内生变量tc、ti的现期值。导出型方程是将一个内生变量表示成它的滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的现值和滞后值及扰动项的方程。按此说法，消费函数（1.2）是导出型：现期消费只依赖于滞后收入和随机扰动项ct的现期值。投资方程（1.3）不是导出型，因为它依赖于现期消费tc。为了得到投资的导出型方程，将（1.2）代人投资方程中，得11[]ttcttitiyc11ttctityc注意，这是投资的导出型方程，但不是唯一的。可以将（1.2）滞后一期获得121ttctcy，利用这个表达式，导出型投资方程可写成121()()tttctctitiyy（1.4）同样，对于GDP的导出型方程可通过将（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得121(1)(1)tttctitctyyy（1.5）方程（1.5）是导出型方程（一维情况）；ty可表示成本身的滞后项和扰动项的函数。一维模型对于预测是非常有用的，因为，你可以用现值和过去值进行预测。利用一维时间序列的技术可以估计（1.5）。一旦你获得了和的估计，利用1y到ty的观测值，可以预测序列的所有将来值（12,,...)ttyy本课程也考虑多维模型（所有变量被认为是联合内生的），也讨论由导出模型推出结构型模型的限制条件（可识别条件）。3、误差修正：远期和现期交易价格某种商品或金融产品在现期市场中或将来的某一时刻能被买和卖，例如，假设在现期（t期）市场某种外汇的价格是ts美元，远期价格是tf美元。到t+1期，投机者付tf美元。因为现期汇率可以1ts的价格卖，投机者能挣的利润是1ttsf无偏的远期利率(UFR)假说认为：投机行为的预期利润为零。远期、现期汇率有下面关系：11tttsf(1.6)这里1t有零均值。在（1.6）中，t期的远期汇率是t+1期现期汇率的无偏估计。因此，假如你收集到了这两种数据，并估计了回归方程1011tttsf如果能断定1,010，且E(1t)=0，则UFR假设成立。当1t=0时，远期和现期市场被说成是长期均衡。只要1ts偏离tf时，在下一期将会有一些必要的调整，以恢复均衡。考虑调整过程：2112[],0ttttstsssf（1.7）111[],0ttttftffsf（1.8）这里，1ft2st,均值都为零。这两个方程说明了联立调整机制，这个动态模型被称为误差修正模型。因为，变量与前一期偏离长期均衡的偏差有关。如果现期汇率1ts等于远期汇率tf，现期汇率与远期汇率预期不变。如果现期汇率与远期汇率之间有正偏差，10ttsf，则现期汇率将下降，远期汇率将上升。4．蛛网模型1．确定性蛛网模型：,0ttdap,0ttsbpttsd这里tdt期小麦的需求，tst期小麦的供给，tpt期小麦的市场价格，tp农民对t期小麦的预期价格。参数,,,0,(ababab且保证均衡价格为正），蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期1ttpp可得一阶常系数差分方程1()()/ttppab初始条件0tpp0()()ttababpp条件tp收敛性tp类型收敛不收敛发散阻尼振荡交错振荡发散振荡这个稳定条件的经济解释是：供给曲线的斜率（1)ds/dptt为，需求曲线斜率的绝对值1)dd/(-dptt为。如果供给曲线比需求曲线更陡峭，即1/1/,/1或时，系统是稳定的。2．带有随机供给冲击的蛛网模型下面用具有随机供给冲击的蛛网模型来说明农产品价格的波动性。如小麦价格由下面供需决定：0,padtt0,pbstttttds这里tdt期小麦的需求tst期小麦的供给tpt期小麦的市场价格tp农民对t期小麦的预期价格t零均值的供给冲击。参数ba(ba,0,,b,a且保证均衡价格为正）假设消费者可按市场价任意购买小麦。在种植期，农民不知道小麦在收割时的价格，他们的供给依赖于预期价格tp，与实际小麦市场不同，这里不允许有囤积。蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期1ttpp点E代表价格和小麦数量达到长期均衡。在这个随机模型中的均衡概念不同于传统的蛛网模型。如果这个系统是稳定的，价格会趋于E点。随机均衡是指供给冲击会使系统经常偏离E点。长期均衡价格是容易解出的。如果令}{t都为0，ppp1tt，且令供给=需求，则可得长期均衡价格为)/()ba(p均衡供给量、需求量为)/()ba(为了分析这个系统的动态性质，我们假设农民在t期生产小麦数量s。但是，有一个负的供给冲击，使实际生产量为ts，点1，为了简单，假设这供给冲击的后续值都为零。（)02t1t。在t+1期时，t1tpp。他们生产1ts，点2。但，当价格降到1tp时，消费者愿意买1ts，点3。重复这个过程，一直到达点E。但这个均衡不一定对所有供给、需求曲线都能达到。为了求出稳定条件，tt1tpapb或//)ba(p)(pt1tt这是一阶线性差分方程。为了得到一般解：sd数量价格0ititit)/(A)/(1bap如果我们知道在某个初始期的价格，则我们可确