第1章 离散时间信号与系统

1第1章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示序列的产生常用序列序列的基本运算系统分类线性系统移不变系统因果系统稳定系统常系数线性差分方程连续时间信号的抽样2x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}k121-1-10123x[k]1}1,1,2,1,1{][kx离散信号(序列)的表示3对连续信号抽样x[k]=x(kT)信号本身是离散的计算机产生注意：离散信号:时间上都量化的信号数字信号:时间和幅度上都量化的信号离散序列的产生41．单位脉冲序列0001][kkk定义：2.单位阶跃序列0001][kkku定义：3．矩形序列otherwise0101][NkkRN常用序列54．指数序列Zkakxk,][有界序列：kZ|x[k]|Mx。Mx是与k无关的常数aku[k]：右指数序列,|a|1序列有界aku[k]：左指数序列,|a|1序列有界5．虚指数序列(单频序列)tjetx)(角频率为的模拟信号kjTkjkTteetxkx)(][数字信号角频率=T6虚指数序列x[k]=exp(jk)是否为周期的?如是周期序列其周期为多少？即/2p为有理数时，信号才是周期的。如果/2pm/L,L,m是不可约的整数，则信号的周期为L。76．正弦型序列2/)(cos][kjkjeekkx例试确定余弦序列x[k]=cos0k当(a)0=0(b)0=0.1p(c)0=0.2p(d)0=0.8p(e)0=0.9p(f)0=p时的基本周期。解：(a)0/2p0/1，N=1。(b)0/2p0.1/21/20，N=20。(c)0/2p0.2/21/10，N=10。(d)0/2p0.8/22/5，N=5。(e)0/2p0.9/29/20,N=20。(f)0/2p1/2,N=2。8010203040-101x[k]=cos0k,0=0.2p010203040-101x[k]=cos0k,0=0.8p010203040-101x[k]=cos0k,0=p010203040-101x[k]=cos0k,0=09当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。Zpnkkn00cos)2(cos即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，所表示的是同一个序列。cos[(2p0)k]=cos(0k)0在p附近的余弦序列是高频信号。00或2p附近的余弦序列是低频信号。1011][][][nkhnxkyn序列的基本运算•翻转(timereversal)x[k]x[-k]•位移(延迟)x[k]x[k-N]•抽取(decimation)x[k]x[Mk]•内插(interpolation)•卷积12例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[k]=x1[kn]*x2[km]。结论：y1[k]=y[km+n)]例：x[k]非零范围为N1kN2，h[k]的非零范围为N3kN4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范围。结论：N1N3kN4N213实序列的偶部和奇部序列的单位脉冲序列表示)()()(mnmxnxm)()()(nxnxnxoe)]()([21)(nxnxnxe)]()([21)(nxnxnxo14]}[{]}[{]}[][{2121kxbTkxaTkbxkaxT系统分类线性(Linearity)注意：齐次性叠加性15例:设一系统的输入输出关系为y[k]=x2[k]试判断系统是否为线性？解：输入信号x[k]产生的输出信号T{x[k]}为T{x[k]}=x2[k]输入信号ax[k]产生的输出信号T{ax[k]}为T{ax[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情况，T{ax[k]}aT{x[k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。16例y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)17时不变(Time-Invatiance)定义：如T{x[k]}=y[k]，则T{x[k-n]}=y[k-n]线性时不变系统简称为：LTI在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。例证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。18解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为y[k]=T{x[k]}=x[Mk]输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为T{x[kn]}=x[Mkn]由于x[Mkn]y[kn]故系统是时变的。例:已知抽取器的输入和输出关系为y[k]=x[Mk]试判断系统是否为时不变的？1923451264k0][1kx-1135]2[][11kxky23451k0-1135]1[][12kxkx23451264k0-1135]2[][22kxky23451264k0-1]2[][13kxkx23451264k0-1135]2[][33kxky2341k0-1135抽取器时变特性的图示说明20定义：]}[{][kTkh例：累加器:][][nxkykn][][kukh单位脉冲响应（Impulseresponse）21}][][{]}[{nnknxTkxT}][{][nnkTnxnnkhnx][][][*][khkx][][][khkxky*LTI系统对任意输入的响应22当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：23离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律24(2)结合律25(3)分配律26离散卷积的计算27计算卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。上图为：与的线性卷积。28计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。例已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解参看图2.15，分段考虑如下：(1)对于n0：(2)对于0≤n≤4：(3)对于n4，且n-6≤0，即4n≤6时：(4)对于n6，且n-6≤4，即6n≤10时：(5)对于(n-6)4，即n10时：29x30综合以上结果，y(n)可归纳如下：31卷积结果y(n)如图2.16所示32因果性定义定理证明（充分性、必要性）举例33稳定性定义定理证明（充分性、必要性）举例34线性常系数差分方程用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样响应差分方程的优点：在一定条件下，可得到系统的输出可直接得到系统的结构举例35信号的抽样连续信号频谱X(jw)与抽样信号频谱X(ejW)的关系时域抽样定理抗混叠滤波信号的重建连续信号的离散处理36x(t)t0T2Tx[k]k012kTttxkx)(][点抽样A/Dx(t)x[k]=x(kT)T抽样间隔(周期)T(s)抽样角频率sam=2p/T(rad/s)抽样频率fsam=1/T(Hz))e()j(jXX抽样过程的两种数学模型离散时间信号与系统(t)t0T2TT(t)t0T2Txs(t)t0T2T理想抽样)()()(ttxtxTs)(][kTtkxk)()(kTttxk38)]()([)]([sttxFtxFT)]([)]([21tFtxFTp*)()j(21samsampnXn*))(j(1samnXTn))(j(1)j(samsnXTXn连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系39)e(jXttxXtssde)()j(jtkTtkxtkde)(][jtkTtkxtkde)(][jkTkkxje][)e(jTX)/j(sTX点抽样信号频谱X(ejW)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系40)e(jX)e(/jsTX))(j(1)j(samsnXTXn)j()j(TXXT缩因子)π2j(1π2TnXTn周期化为nTnXTX)π2j(1)e(j连续信号频谱X(jw)与点抽样信号频谱X(ejW)的关系41X(j)=0||m称为m为信号的最高(角)频率。ωm)j(Xmm0带限(bandlimit)信号42例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分别抽样角频率sam=2.5m,2m,1.6m抽样时，抽样后离散序列x[k]的频谱。)j(Xmm10m5.2sam解：π8.05.2π2mmmTT1)e(jX0.8pp02p2p0.8p43m2samπ2π2mmmTT1)e(jXp02p2ppm6.1samπ25.16.1π2mmmTT1p02p2pp1.25pT1p02p2pp)e(jX44T1)e(jX0.8pp02p2p0.8pm5.2samT1)e(jXp02p2ppm2samT1p02p2pp)e(jXm6.1sam45设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：Tp/m=1/(2fm)时域抽样定理fsam2fm（或sam2m）抽样频率fs满足：或抽样间隔T满足fsam=2fm频谱不混叠最小抽样频率(Nyquistrate)T=1/(2fm)频谱不混叠最大抽样间隔46例：已知x(t)=Sa(pf0t),试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列x[k]。解：pf00X(j)pf01/f0所以sam=2pf0，即T=1/f0。)e(jX1][kx][k若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为[k]，则称该信号Nyquist-T信号。在所有的Nyquist-T信号中，只有x(t)=Sa(pf0t)是带限的。47例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示,试分别画出sam1=0.5m及sam2=0.8m时，抽样后离散序列的频谱。解：m0X(j)0.5m1sam1=0.5m,T1=2p/sam1=4p/msam2=0.8m,T2=2p/sam2=2.5p/m0X(ej)pp2ppp2ppp1/T0X(ej)1.5p2.5p2.5p1.5p0.5p0.5p1.85p1/T48抗混叠滤波许多实际工程信号不满足带限条件抗混叠低通滤波器)(tx)(1tx)(th)j(X10)j(1Xmm10)j(Hmm1049信号的重建D/Ax[k]T)(][)(skTtkxtxk理想D/A模型框图k01234x[k]t0T2T3T4Txs(t)理想D/A输入和输出)e()j(jsTXX50)()(jTseXjXA/T)(jeXmTmTppp2p2A/T)(jXsmm2sam2samsamsam51A/T