大学课件 高等数学 8

1习题课教学要求典型例题第八章多元函数微分法及其应用2一、教学要求1.理解多元函数的概念.存在偏导与可微之间的关系.掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.2.了解二元函数极限与连续概念,掌握有界闭区域上二元连续函数的性质、全微分存在的必要条件与充分条件.了解二元函数极限、3.熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要会求函数的全微分.第八章多元函数微分法及其应用习题课连续、36.了解方向导数与梯度的概念及其计会用拉格朗日乘数法求多元函数的4.熟练掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的求法.方程、5.熟练掌握二元函数的极值理论及其求法,极值以及有关应用题.算方法.第八章多元函数微分法及其应用习题课4例解，具有二阶连续偏导数设)(),,(3fxyxyfxzyz2214fxfx22yz,222123115fxfxfx2x二、典型例题.,,222yxzyzyz求3xxf1()12xf4xxf11()112xfxf21()122xf第八章多元函数微分法及其应用习题课5yxz2134fx)(2214fxfxx.2422114213fyfyxfxfx2214fxfxyz2x4x22xf),(3xyxyfxzxyz2yf11[)](212xyfyf21[)](222xyf第八章多元函数微分法及其应用习题课6.0),(,0),,(),,()(zxhzyxgyxfuxu由方程组设函数解例法一方程组各方程两边微分,得yfxfuyxddd0dddzgygxgzyx0ddzhxhzx.ddxhhzzx)dd(1dzgxggyzxy分析变量4个,方程3个,)(),(),(xzzxyyxuu则,0,0,zhyg且所确定.ddxu求独立自变量1个.由题意选x为独立自变量.第八章多元函数微分法及其应用习题课7xudd得由)3(得代入)2(得代入)1(法二.0),(,0),,(),,(zxhzyxgyxfu方程组各方程两边对x求导,得xgxh,ddzxhhxz,ddyxzyxzgghghgxy.ddzyxzyyxyxhghgfggffxuxfxyfydd)1(xygyddxzgzdd0)2(xzhzdd0)3(第八章多元函数微分法及其应用习题课8法三)],(,[zxyxfu))](,(,[xzxyxfxudd而yxxggyyzzggyzxhhxzddyfzy.0),(,0),,(),,()(zxhzyxgyxfuxu由方程组设函数,0,0,zhyg且所确定.ddxu求xfxy()ddxz第八章多元函数微分法及其应用习题课92222zyxyxz与平面求旋转抛物面例解,),,(22上任一点为抛物面设yxzzyxP分析),,,(zyxP本题变为求一点拉格朗日乘数法.法一之间的最短距离．,022dzyxP的距离为到平面则.2261zyxdzyx,,使得满足最小．即))22(61(22zyxd2261zyxd且使022zyx第八章多元函数微分法及其应用习题课10),()22(61),,(222yxzzyxzyxL令解此方程组得得.81,41,41zyx2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．)1(,02)22(31xzyxLx)2(,02)22(31yzyxLy1(22)(2)0,(3)3zLxyz)4(,22yxz最小．即))22(61(22zyxd第八章多元函数微分法及其应用习题课11.647241414161mind),81,41,41(即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,)81,41,41(2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．2261zyxd第八章多元函数微分法及其应用习题课12法二设P(x,y,z)为旋转抛物面22yxz22),,(yxzzyxF,2xFx,2yFy1zF211212yx,41y81z,41x.647几何法.2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．法向量2261minzyxd2812414161上的任一点.第八章多元函数微分法及其应用习题课(1,1,2)(2,2,1)nxy13法三2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．),,(zyx设为旋转抛物面上任一点,),,(111zyx为平面上任一点.由两点间距离公式有2121212)()()(zzyyxxd令),,(zyxF212121)()()(zzyyxx)(22yxz).22(111zyx,0,0,0zyxFFF,0,0,0111zyxFFF.22zyx,22yxz第八章多元函数微分法及其应用习题课14总习题八(72页)12.,cosvexu设,sinveyuuvz试求和.xzyz解题思路xvvzxuuzxzxvvevxuexvvevxueuuuucossin0sincos1veyvexuusincos和分别将xvuxuvxvxu,解出再代入上式即得.求导得两边对x第八章多元函数微分法及其应用习题课15上海交大考试题(97级))(xyxfz曲面解),,,(000zyxM2xyxyfxxyfzxxyfxyxyfxxyfxzy1xyf则1),(),()(00000000xyfxyfxyxyfn设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.第八章多元函数微分法及其应用习题课(,,1)xyMnzz16则切平面方程为:))(()()()(0000000000yyxyfxxxyfxyxyf0)(0zz0)()()(00000000zyxyfxxyfxyxyf即证.1),(),()(00000000xyfxyfxyxyfn)(xyxfz曲面上的任意一点处的切平面都过原点.000第八章多元函数微分法及其应用习题课17解具有什么关系时问的方向导数的向径cbar,,,0例),,,(0000zyxr,||cos00rx处的方向导数为在点Mcoscoscos0MMMMzuyuxuru,||2020200zyxr.||cos00rz,||cos00ry||2||2||2002000200020rzczrybyrxax处沿点在点求),,(000222222zyxMczbyaxu此方向导数等于梯度的模?)(||22202202200czbyaxr第八章多元函数微分法及其应用习题课18)(||22202202200czbyaxr.),,(2202020000zyxzyxu处的梯度为在点MkzujyuixuuMMMMgradkczjbyiax202020222具有什么关系时问的方向导数的向径cbar,,,0处沿点在点求),,(000222222zyxMczbyaxu此方向导数等于梯度的模?Mru04204204202gradczbyaxuM第八章多元函数微分法及其应用习题课19,时当cba20202022zyxa,2)(2202020220202020202020zyxazyxzyxaruMMMurugrad0.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当cba),(||22202202200czbyaxrMru04204204202gradczbyaxuMMugrad2020200||zyxr第八章多元函数微分法及其应用习题课20作业总习题八(72页)3.4.9.10.12.14.15.16.17.第八章多元函数微分法及其应用习题课