大学课件 高等数学 8-2

1方向导数概念与计算公式梯度概念与计算小结思考题作业directionalderivativeandgradient第七节方向导数与梯度数量场与向量场的概念第八章多元函数微分法及其应用2xy1.方向导数的定义设有二元函数),,(yxfzlP沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,,lP发出的一条射线由点方向上取附近于在点lyxP),(),,(yyxxP一点.||PP记即,)()(22yx一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度xyOP3定义如果极限)()(limPfPfPP),(),(lim0yxfyyxxf存在,则将这个极限值称为函数在点,的方向导数沿方向lP记为,lf即),(),(lim0yxfyyxxflf注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.方向导数与梯度ylPxxyOP4xyzO2.方向导数的几何意义),(yxfz设的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向l变化时,对应的空间点),,(zyx形成过l的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条记此半切线与方向l的夹角为,则由方向导数的.tanlf半切线,定义得MlP方向导数与梯度5),(),(lim0yxfyyxxflfρ一定为正!xyxfyxxfxfx),(),(lim0是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数yyxfyyxfyfy),(),(lim0分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注方向导数与梯度6事实上,xyxfyxxfifx),(),(lim0),,(yxfx的方向导数存在,事实上,yyxfyyxfjfy),(),(lim0),,(yxfy),(yxf当函数轴正向沿在点函数xyxPyxf),(),()0,1(1e.xf且值为同理,轴正向沿在点函数yyxPyxf),(),(2e)1,0(的方向导数存在,.yf且值为yxffyxP,),(的偏导数在点方向导数与梯度存在时,7ifjfxyxfyxxfx),(),(lim0yyxfyyxfy),(),(lim0),,(yxfx)1,0().,(yxfy轴负向沿在点函数xyxPyxf),(),()0,1(轴负向沿在点函数yyxPyxf),(),(方向导数与梯度反之,ifif或当存在时,xf是否一定存在jfjf或yf8方向导数与梯度例如,函数处在点)0,0(22yxz沿方向il的方向导数),(),(lim0yxfyyxxflfiflf,1lim0xxx但xf,||lim0xxx不存在.即z在(0,0)点的偏导数不存在.||00)(lim220||xxxxxx00)(lim220xyxfyxxfxfx),(),(lim0xzxx0lim9证由于函数可微,),(),(yxfyyxxf得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理.coscosyfxflf处在点设),(),(yxPyxfz,导数都存在的方向在该点沿任意指定方向l可微,则函数且.的夹角轴正向轴、与分别为方向、其中yxl则增量可表示为)(oyyfxxf两边同除以,方向导数与梯度10coscos),(),(yxfyyxxf故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxf.coscosyfxflf),(),(yxfyyxxf)(oyyfxxf)(oyyfxxf方向导数与梯度ylPxxyOP11注coscosyfxflf,cos,cos方向的方向余弦为其中l,[0].ll的单位向量、，是的方向角即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.方向导数与梯度在定点),(000yxP的方向导数为(3).coscos000PPPyfxflf(4)关系方向导数存在偏导数存在可微12例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.解54203Pyx,23yxz10PP0Pxz,273022Pyx0Pyz5||10PP,51cos52cos0Plz5815254)51(27coscos000PPPyfxflf),2,1(10PP方向导数与梯度13解)1,1(lf由方向导数的计算公式知sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有(这夹角为转角)沿与在点求函数)1,1(),(22yxyxyxf例.的方向导数的方向射线轴方向夹角为与lxsin)1,1(cos)1,1(yxffsincos)4sin(2方向导数与梯度coscos000PPPyfxflfcos)1,1(cos)1,1(yxff14故sincos)4sin(2)1,1(lf)1(方向导数达到最大值;2)2(方向导数达到最小值;243当,47时方向导数等于.0,4时当,45时当)3(和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度15方向导数与梯度求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.用参数方程表示为2)2,1(xx它在点P的切向量为)4,1(14cos,cos17171解xxcoscos000PPPyfxflf2)3,2(P3将已知曲线xyO16lf推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数),,,(zyxfu它在空间一点),,(zyxPl沿着方向的方向导数,可定义为),,(),,(lim0zyxfzzyyxxf))()()((222zyx其中方向导数与梯度,cosx,cosy,cosz,,的方向角为设方向l同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有coscoscoszfyfxflf)cos,cos,(cos其中是l的方向向量.17解令632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF22PPzzF故),,(zyxFFFn),2,6,4(,142264222n其方向余弦为1991年研究生考题,计算,5分2268,xyuz处指向外侧的法向量求函数例.的方向导数点处沿方向在nP方向导数与梯度,142cos,143cos.141cos222236(1,1,1)nxyzP设是曲面在点18,142cos,143cos.141cosPPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711故zyxu2286函数)1,1,1(P方向导数与梯度19练习求函数在点处沿222zyxxu解切线方向的方向向量(注意这时t=1),91cos,94cos,98cos,278Mxu.24316422,2,tztytx)2,2,1(M)8,4,1(,272Myu272MzuMlucoscoscoszfyfxflf在此点的切线方向上方向导数与梯度曲线的方向导数.201996年研究生考题,填空,3分指向点沿点函数)1,0,1()ln(22Azyxu).()2,2,3(方向的方向导数为B21解此方向的方向向量为).1,2,2(,32cos,32cos,31cos,21Axu,0Ayu,21Azu212111()0.323322Aul.coscoscoszfyfxflf方向导数与梯度21问题方向导数与梯度二、梯度概念与计算已知方向导数公式coscosyfxflfyfxfG,lf:G方向：模：方向一致时,Gl与当0方向导数取最大值||Gmaxf变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大),(yxfz(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.0(cos,cos)l22方向导数与梯度定义记作jyfixf读作nable.).,(adrgyxf即为函数G称向量yfxfG,梯度(gradient),),(adrgyxfyfxf,称为或算子,或向量微分算子.f,jyix引入算符哈米尔顿算子,),(yxfz设函数),(yxP在点可偏导,),(yxfz处的在点),(yxP利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成coscosyfxflf)cos,(cos),(gradyxf23方向导数与梯度梯度的基本运算公式,0grad1.C0CuCuC)()()()(vuvu,gradgrad)(grad4.uvvuvuuufuf)()(2.grad()grad,CuCu3.grad()gradgrad,uvuv()uvvuuv5.grad()()grad,fufuu24结论22|),(grad|yfxfyxfxfyftan,不为零时当xfx轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为方向导数与梯度25),(yxfz在几何上曲面被平面cz,),(czyxfz所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线),(gradyxf梯度为等值线上的法向量表示一个曲面,所截得方向导数与梯度如图:,Lcyxf),(xyO1),(cyxf2),(cyxfLP26法线的斜率为:xydd1yxff1,xyffyfxf,为等值线上点P处的法向量.所以梯度事实上,由于等值线cyxf),(上任一点处的),(yxP方向导数与梯度cyxf),(等值线xyO1),(cyxf2),(cyxfLP),(gradyxf27.),,(gradkzfjyfixfzyxf类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数),,(zyxfu在空间区域G内则对于每一点,),,(GzyxP都可定义一个向量(梯度)具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度28类似地,设曲面czyxf),,(为函数,),,(的等量面zyxfu此函数在点),,(zyxP的梯度的方向与过点P的等量面czyxf),,(在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低而梯度