大学课件 高等数学 9-4

1利用直角坐标系计算二重积分小结思考题作业利用极坐标系计算二重积分doubleintegral二重积分的换元法﹡第二节二重积分的计算法第九章重积分2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法3(1)积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaDX－型],[ba在区间上连续.二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分xOyxOy)(1xy)(2xyDba4的值等于)0),((d),(yxfyxfD计算截面面积),(yxfz(红色部分即A(x0))＊二重积分的计算法以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间)](),([0201xx为曲边的曲边梯形.),(0yxfz为底,曲线xyzO),(yxfzD)(2xy)(0xAab1()yx0x5是区间为底,)](),([0201xx曲线为曲边的曲边梯形.),(0yxfz)(01x],[baxyyxfxAxxd),()()()(21有:DyxfVd),(baxxAd)(＊xbad二重积分的计算法)d),(()()(21xxyyxf)(02xyyxfxAd),()(00先对y后对x的二次积分称为累次积分.Dyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(dxyzO),(yxfzD)(2xy)(0xA1()yxa0xb6(2)积分区域为：,dyc)()(21yxyD)(2yxcd)(1yxY－型Dyxfd),(先对x后对y的二次积分也即dcyyxyxfy)()(21d),(dDyxfd),(二重积分的计算法其中函数、)(1y)(2y],[dc在区间上连续.xOyxOyD)(2yxcd)(1yxdcyd)d),((xyxf)(1y)(2y7特殊地Dbadcyyxfxyxfd),(dd),(如D是上述矩形域,)()(),(21yfxfyxf且得yxyfxfDdd)()(21即等于两个定积分的乘积.注D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤dbaxxfd)(1yyfdcd)(2二重积分的计算法yyfxfdcd)()(2112(()()dbdacfxfyyxd)ba(xd)d(,)ddbcayfxyx8穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:,bxa)()(21xyx,dyc)()(21yxyX型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.二重积分的计算法xyO9(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.D(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.321DDD二重积分的计算法xyO3D2D1D10xyO例解Dyxyxdd)(2xxxxxxd)](21)([42102.14033积分域既是X型又是Y型22xyyxyyxd)(210dx法一)0,0(),1,1(所围平面闭区域.和是抛物线其中求22,dd)(xyDyxyxD2yx两曲线的交点2xx二重积分的计算法2xy2yx)1,1(11先对x后对y的积分Dyxyxdd)(21403310dy法二xyxd)(22yy二重积分的计算法Dyxyxdd)(2xyO2xy2yx)1,1(12例yyxxdsind1012siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,xy)1,1(可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:,10x1yx,10yyx0二重积分的计算法13yyxxdsind1012yxyyd)(sin0102yyydsin1022102dsin21yy)1cos1(21xyydsin0210dyoxyxy)1,1(,10:yDyx0二重积分的计算法14例交换积分次序：解积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式=10dyy2xyxfd),(211y二重积分的计算法22xxyxy2xyO1215例axy222xaxy22yaax解原式=xyxfd),(交换积分次序：axxaxayyxfx22202d),(d)0(ayday22xyxfd),(22yaa0aa222yaayd0axyxfd),(yda2ay22a2a二重积分的计算法xyOaa2aa2ayx2216交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法17二重积分的计算法二次积分一定能交换次序答不一定!例如:.0,0,0,)(),(222222222时当时当设yxyxyxyxyxf,d),(d10101yyxfxI由于22yxyy故yyxfd),(10102d11xxyyxfxId),(d10101所以,4),,(yxf10arctanxyyxyyd10221022yxy;112x18二重积分的计算法例如:.0,0,0,)(),(222222222时当时当设yxyxyxyxyxfyyxfxId),(d10101,4,d),(d10102xyxfyI由于22yxxx故xyxfd),(10yy102d11所以.4xyxfyId),(d10102yyxfxd),(d1010.d),(d1010xyxfy),,(yxfxyxxxd10221022yxx;112y10arctany说明:当f(x,y)在所考虑的区域上连续时,二次积分可以交换积分次序.191990年研究生考题,填空,3分)(dd2202yexxy)1(214exyxoy22解yexxydd2202xeyyydd02022222000ddyyyexyyey)(d212202yey)1(214e二重积分的计算法交换积分次序20又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:,dsinxxx,d2xex,lndxx等等,一定要放在后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex,dxexy二重积分的计算法21例求证axaxxfxayyfx000d)()(d)(d左边的累次积分中,积分域可表为提示xayyfx00d)(dayaxyfyd)(d0ayyfya0d)()(axxfxa0d)()(定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,)(yf是y的抽象函数,)0(a,0axxy0,0ayaxyaayyxyf0d)(证毕.先交换积分次序.二重积分的计算法axyOa),(aa22例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及222Ryx.222Rzx解dDyxRd22332R313168RVVd),(1DyxfV22xRy222Rzx立体顶部222Ryx立体底部求所围成的立体的体积.xoyzoxyDR22xR22xR0xd0R二重积分的计算法22xRz曲顶还有别的做法吗23二重积分的计算法2002年研究生考题,7分计算二重积分,dd},max{22Dyxyxe其中}.10,10),({yxyxDxyO解112D1D设},,10),({1xyxDxy0},,10),({2xyxD1yxDyxyxedd},max{22122dd},max{Dyxyxe222dd},max{Dyxyxe12ddDxyxe22ddDyyxexxyex010dd2yyxey010dd2.1exxyex010)dd2(2或24解121d)(xeexxee2183xeyxeyIyyxyyxydddd121212141计算积分xexyd不能用初等函数表示,先交换积分次序.yexydx2xxdI211二重积分的计算法112141xy2xy21Oxy25iiiiiiii)2(21iiiii2)(iii两相邻弧半径平均值.i内取圆周上一点其直角坐标,,ii),(iiiii2)(21ii221则设为二重积分的计算法二、利用极坐标系计算二重积分OADiiii),(iii26得iiinif),(lim10即Dyxfd),(Dyxyxfdd),(也即dd极坐标系中的面积元素cos,siniiiiiiiiiiDfdd)sin,cos(Dfdd)sin,cos(nif1(,cosiiiii)sinii0lim二重积分的计算法27)(1)(2Dfdd)sin,cos((1)积分区域D:,)()(21θAO)(1)(2Dd)(1d)sin,cos(f)(2二重积分的计算法OADθ28D)(0d)sin,cos(df(2)积分区域D(曲边扇形):,)(0Dfdd)sin,cos(AOAO二重积分的计算法D()()29Dfdd)sin,cos()(020d)sin,cos(df极坐标系下区域的面积Ddd(3)积分区域D:,20)(0DoA)(注一般,在极坐标系下计算:θ积分再对先对二重积分的计算法30解sincosyxDyxyxfdd),(d)sin,cos(df例写出积分的极坐标二次积分Dyxyxfdd),(其中积分区域形式,}10,11),{(2xxyxyxD在极坐标系下圆方程为1直线方程为sincos11cossin102二重积分的计算法yxO11122yx1yxD31解yxeDyxdd22ae020dd2)1(2aea例计算,dd22yxeDyx其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下:D,20a0二重积分的计算法xOy32R2解}0,0,|),{(2221yxRyxyxD}0,0,2|),{(2222yxRyxyxD}0,0|),{(RyRxyxS022yxeSyxy