大学课件 高等数学 常数项级数的审敛法

1正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛小结思考题作业constantterminfiniteseries第二节常数项级数的审敛法第十一章无穷级数21.定义1nnu正项级数nsss212.收敛的充要条件单调增加数列这时,只可能有两种情形:.nsssnnlim,)1(时当n.1必发散级数nnu,}{)2(有上界若ns)(正常数即nspositivetermseries正项级数及其审敛法0nu常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法3定理1(基本定理))(ssn注正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,对收敛的正项级数,其和也不变.正项级数及其审敛法正项级数收敛部分和所成的数列ns有界.常数项级数的审敛法4例判定的敛散性.1121nn解121n1211211212nnSn2121212n211由定理1知,故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.正项级数及其审敛法,21n1该正项级数收敛.这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列ns有界.常数项级数的审敛法53.比较审敛法证定理2nnuuus21且1nnv设nnvu即部分和数列有界.1nnunvvv21正项级数及其审敛法,nnvu若则1nnv收敛1nnu收敛1nnu发散1nnv发散收敛0常数项级数的审敛法6nns则)(nsn设nnvu且不是有界数列1nnv定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.正项级数及其审敛法1nnu发散1nnv发散发散推论11nnu若(发散)收敛)(Nnkuvnn且)(nnvku1nnv则收敛(发散)证,0nnvu若常数项级数的审敛法7解,1p设级数则p,1p设pn1pppnns131211nnppxxxx121dd1(1)(2)正项级数及其审敛法11nn调和级数发散nnp11nnpxx1d用比较审敛法发散.11npnppxnnxn11,1有时当nnpnx1d常数项级数的审敛法例讨论级数ppppn131211的收敛性.)0(p811npdxx)11(1111pnp111p,有界即ns,1p设或(2)将p-级数加括号如下:pppppppp151817161514131211248^^^它的各项均不大于下述正项级数的对应项pppppppp81814141414121211正项级数及其审敛法ns级数则p收敛.11npn)1(p常数项级数的审敛法91118141211ppp312112121211ppp这是收敛的等比级数,.1211pq故由比较判别法知p1时,p--级数11npn发散时当收敛时当级数,1,1ppp正项级数及其审敛法公比常数项级数的审敛法收敛.10(1)几何级数使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数正项级数及其审敛法一些级数的敛散性,作为比较的标准.需要知道(2)p-级数(3)调和级数发散时当收敛时当,1,10qqaqnn发散时当收敛时当,1,1pp11npnnnn13121111发散常数项级数的审敛法11;1收敛则nnu),,2,1(1nnun如果推论2,1nnu若,1p如果有).,2,1(1nnupn使.1发散则nnu定理2,0nnvu若则1nnv收敛1nnu收敛1nnu发散1nnv发散正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法12例讨论下列正项级数的敛散性.nnn3sin2)1(113)1(1)2(nnnxxxnnd1)3(1102解(1)nnnu3sin20而等比级数收敛.nn132所以,原级数收敛.n32nn32由比较审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法13解因为3)1(1nnun3211n而132)1(1nn是发散的p-级数.所以,原级数nn321正项级数及其审敛法13)1(1)2(nnn发散时当收敛时当级数,1,1ppp,11npn发散.2由比较审敛法常数项级数的审敛法14解因为xxnd101231nn又123p所以,原级数xxxunnd110223132nxxxnnd1)3(11020收敛.p-级数,收敛.由比较审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法15,11都是正项级数与设nnnnvu如果,limlvunnn则,0)1(时当l,0)2(时当l,)3(时当l4.比较审敛法的极限形式定理3,1收敛若nnv;1收敛则nnu,1发散若nnv.1发散则nnu正项级数及其审敛法两级数有相同的敛散性;常数项级数的审敛法16比较判别法的实质是时当,0,0nnvu.通项无穷小比阶11,,)1(nnnnnnvuvu和两个级数是同阶无穷小若;敛散性相同,)2(的高阶无穷小是若nnvu,1收敛时则级数nnv;1必收敛级数nnu,)3(的低阶无穷小是若nnvu,1发散时则级数nnv.1必发散级数nnu正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法17证lvunnnlim)1(由02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.正项级数及其审敛法,0)1(时当l两级数有相同的敛散性,limlvunnn常数项级数的审敛法18注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母,分子关于n的最高次数分别为,qp和,1时当qp级数1nnu)0(nu收敛;,1时当qp级数1nnu发散.例如127223132nnnnn收敛.)23227(qp因为1正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法19例如12tan3nnn发散.,n因为3lim3tanlim22nnnnn从而123nn发散.正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法1tan~,22nn20解)1(nnn31limnn1sinlim1)2(nnn311lim1,311收敛nn收敛发散n31正项级数及其审敛法例判定下列级数的敛散性11sin)1(nn131)2(nnn比较审敛法的极限形式,n1常数项级数的审敛法21.cos1)1(1的敛散性判定级数nn解nncos1lim而级数2121nn122121nn收敛故级数1cos1nn12cos12xx～0x正项级数及其审敛法收敛.级数的pp2常数项级数的审敛法2n222.ln)2(12的敛散性判定级数nnn解2lnlimnnn231nnnnlnlim0而级数收敛,1231nn.ln12收敛故nnn正项级数及其审敛法,limlvunnn,0时当l,1收敛若nnv收敛则1nnu常数项级数的审敛法23证,0对,N,时当Nnnnuu1有定理4达朗贝尔,1717–1783,法国数学家、力学家、哲学家,1nnu设nnnuu1lim,1时)(1Nnuunn即(1)正项级数及其审敛法5.比值审敛法(达朗贝尔判定法)AlembertD,收敛发散)0(nu方法失效1nnu1nnu111常数项级数的审敛法241,1NNruu23NNruu,.,1nnu收敛级数因此也收敛.由(1)式的,3Nur12NNruu,2Nur321NNNuuu级数左边相加,的各项小于右边相加收敛的等比级数)1(r公比NNNururru32的对应项,所以321NNNuuu由性质3,得)(1Nnuunn(1)正项级数及其审敛法r使右边,常数项级数的审敛法25,1时当,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruunnulim发散由(1)式的发散级数11nn收敛级数121nn如,1时当比值审敛法失效.正项级数及其审敛法)(1Nnuunn(1)左边,0nnnuu1lim1常数项级数的审敛法262.若用比值判别法判定级数发散注3.一旦出现ρ=1要用其它方法判定.级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.nnnuu1lim或不存在时,正项级数及其审敛法4.条件是充分的,1.适用于中nunn或关于含有!的若干连乘积(或商)但非必要.,1nnu由)0(nu收敛1lim1nnnuu形式.,)1(时常数项级数的审敛法27nn2)1(212)1(2nnn级数nnuu1但nna2lim12limnnannnnnauulimlim112)1(2nnn如：级数n23正项级数及其审敛法收敛))1(2(2)1(21nnna6123不存在,1nnu由)0(nu收敛1lim1nnnuu常数项级数的审敛法28解)(n)1(nnuu1101n.10!1发散故级数nnn比值审敛法的优点:不必找参考级数.正项级数及其审敛法例判定下列级数的敛散性110!)1(nnn12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn由级数本身就能断定敛散性.常数项级数的审敛法29nnnuu1lim1比值审敛法失效,)12(21limnnn收敛级数121nn收敛故级数1)12(21nnn解)22()12(2)12(limnnnnn21n41改用比较极限审敛法正项级数及其审敛法12)12(1)2(nnn,limlvunnn,0时当l两级数有相同的敛散性常数项级数的审敛法30例讨论级数的敛散性.)0(1xnxnn解nnnuu1lim当0x1时,当x1时,当x=1时,xnnn1limnxnxnnn1lim1发散;发散.x级数是调和级数,正项级数及其审敛法收敛;常数项级数的审敛法31例判定级数的敛散性.3cos221nnnn解13cos02n因为所以3cos202nnn又因为nnnnn221lim1所以,12nnn收敛,再由比较判别法知,原级数也收敛.2121limnnn1nn2正项级数及其审敛法),2,1(n常数项级数的审敛法32例利用级数收敛性,证明.0)!(lim2nnnn证考查级数,)!(12nnnn由于nnnuu1limnnnnnnn221)!()!1()1(limnnnn1111lim0故级数收敛.12)!(nnnn由级数收敛的必要条件知,.0)!(lim2nnnn正项级数及其审敛法1