大学课件 高等数学 多元函数微分法及其应用

1第八章多元函数微分法及其应用DxyzOMxyP),(yxfz2第一节多元函数的基本概念预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业functionofmanyvariables第八章多元函数微分法及其应用3一、预备知识1.平面点集n维空间一元函数1R平面点集2Rn维空间nR实数组(x,y)的全体,即},),({2RyxyxRRR建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作}.),(),({PyxyxE具有性质(1)平面点集二元有序多元函数的基本概念4邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0})()(),({),(20200yyxxyxPU,0邻域的点P多元函数的基本概念令,0).(0PU有时简记为2R称之为①将邻域去掉中心,②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点P0邻域.去心邻域.),(0PU5(1)内点显然,E的内点属于E.,EP点,)(EPU使多元函数的基本概念E(2)外点如果存在点P的某个邻域),(PU则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点2RP2RE与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,,0若存在称P为E的内点.1P)(1P)(2P2P3P)(3PE的边界点的全体称为E的边界,记作.E使U(P)∩E=,6聚点多元函数的基本概念如果对于任意给定的,0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点则称P是E的聚点.例如,设点集(P本身可属于E,也可不属于E),},21),({22yxyxE,),(200RyxP点,212020yx若则P为E的内点;12020yx若,22020yx或则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界E为集合}.2),({}1),({2222yxyxyxyx7平面区域(重要)设D是开集.连通的开集称多元函数的基本概念连通的.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是开区域.如都是区域.},41),({22yxyx}0),({yxyx开集若E的任意一点都是内点,例}41),({221yxyxE称E为开集.E1为开集.0yx0yxOxy结起来,8开区域连同其边界,称为开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。但注意：当教材规定了区域为开区域时，一般的区域要称一般区域。否则称为多元函数的基本概念都是闭区域.},41),({22yxyx}0),({yxyx如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径(可伸展到无限远处的区域).闭区域.有界区域.无界区域有界区域9OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域多元函数的基本概念10n元有序数组),,,(21nxxx),,,(21nxxx的全体;nRn维空间中的每一个元素称为空间中kx数称为该点的第k个坐标.n维空间中两点),,,(21nxxxP的距离定义为2222211)()()(nnyxyxyxPQn维空间中点0P记作及),,,(21nyyyQ}.,{),(00nRPPPPPUδδ的邻域为(2)n维空间多元函数的基本概念n维空间.称为即}.,2,1,),,({21iRxxxxin的一个点,RRRRn11二、多元函数的概念1.二元函数的定义例理想气体的状态方程是VTRp称p为两个变量T,V的函数,其中(1)定义如温度T、体积V都在变化,则压强p依赖多元函数的基本概念(R为常数)RTpV其中p为压强,V为体积,T为绝对温度.于T,V的关系是,0T.0V12按着这个关系有确定的点集D称为该函数),(yxfz))((Pfz或称为该函数的Dyxyxfzz),(),,(则称z是x,y的定义1若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念记为称x,y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.13二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为函数在点处的函数值),(yxfz),(00yxP),(00yxf多元函数的基本概念).(0Pf或类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的14例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域xyz.1和00yx00yx多元函数的基本概念即定义域为,0xy151解Oxy12.22222yxyxxz1)1(22yx定义域是122yx且有界半开半闭区域多元函数的基本概念16用联立不等式表示下列平面闭区域D.圆弧直线:有下列三种表示法域D解01x10x多元函数的基本概念xOy111)2(01y112yxy)3(012yx及01yxD(1)221xy0y1xy172.二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张多元函数的基本概念曲面.),(yxfzDxyzOMxyP18222yxRz的图形是双曲抛物面.多元函数的基本概念如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.又如,xyz最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.19三、多元函数的极限讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的),,(yxfz.),(),(000时的极限即yxPyxP回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.注,,00yyxx当多元函数的基本概念方向有任意多个,),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy20(2)变点P(x,y)这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.2020)()(yyxx),(),(000yxPyxP0多元函数的基本概念0PP总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,),(),(00yxPyxP趋向于21,0,)()(02020yyxx当,0),(yxfzA为则称Ayxfyxyx),(lim),(),(00记作)0(),(Ayxf或多元函数的基本概念)(定义2在D内有成立.的极限.时当),(),(00yxyx设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义),()(yxfPf义域为D,如果存在常数A,AyxfAPf),()(APfPP)(lim0也记作).()(0PPAPf或22说明(1)定义中0PP(2)二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx多元函数的基本概念(doublelimit)的方式是任意的；二重极限.23则当22)0()0(0yx,001sin)(lim),(lim22220000yxyxyxfyxyx试证例证01sin)(2222yxyx22yx22)0()0(yx2取01sin)(2222yxyx有证毕.多元函数的基本概念)0(22yx22221sinyxyx24相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf25确定极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.多元函数的基本概念不存在的方法则可断言极限不存在;),(yxP令若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使处极限不存在.存在,在点),(yxf),(000yxP00()yykxx),,(000yxP趋向于沿直线26设函数证明:当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向)0,(lim0xfx),0(lim0yfy也有0,00,),(222222yxyxyxxyyxf证22000limxxx00lim0x22000limyyy00lim0y多元函数的基本概念函数的极限不存在.,0,0时当yx无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例27函数的极限存在且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．多元函数的基本概念说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数证明:0,00,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在.,0,0时当yx特殊方向28极限是否存在？24200limyxyxyx取,kxy解242yxyx),(lim0yxfkxyx当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,)0,(lim0xfx0222243kxkxxkxkx),0(lim0yfy0多元函数的基本概念0lim220kxkxkxyx29多元函数的基本概念极限不存在.取,2xy242yxyx444xxx极限是否存在？24200limyxyxyx2130四、多元函数的连续性设二元函数则称函数定义3),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx多元函数的基本概念P0(x0,y0)为D的定义区域的内点或边界点,P0∈D.如果连续.),(),(000yxPyxf在点如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,),(yxf或称函数),(yxf是D内的连续函数.的定义域为D,),()(yxfPf31的不连续点,多元函数的基本概念若函数在点P0(x0,y0)不连续,称P0为函数间断点.若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,),(yxf都有定义,则在这些孤立点或这些曲线上,即间断点.函数),(yxf都是函数),(yxf),(yxf则的),(yxf32在单位圆122yx处处是间断点.2211sin),(yxyxf多元函数的基本概念函数(0,0)点是该函数的间断点.函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf),,0,0(前面已证函数的极限不存在时yx不同在哪?想一想二元函数的间断性与一元函数的间断性33称为多元初等函数,多元函数的基本概念积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点34有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理多元函数的基本概念在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得35多元函数的极限的基本问题有三类(1)研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限