大学课件 高等数学 二阶常系数非齐次线性微分方程

1第六节二阶常系数非齐次线性微分方程小结思考题作业xxPexflxcos)([)(型)()(xPexfmx型]sin)(xxPn非齐次第十二章微分方程2方程对应齐次方程0qyypy通解结构),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxmYy)(xf难点方法二阶常系数非齐次线性的类型)(xfyyY次多项式是mxPm)(qyypy二阶常系数非齐次线性微分方程型一、)()(xPexfmx如何求非齐次方程特解？待定系数法.3设非齐方程特解为)(xQy求导代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根若)1(可设是特征方程的单根若)2()(xQ可设xmexxQy)(xmexQy)(xe)(xQm)(xQ)(xQmx)(xQxmexPqyypy)(m0)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm00二阶常系数非齐次线性微分方程4是特征方程的重根若)3()(xQ可设综上讨论,)(xQexymxk设kxmexQxy)(2注)(xQm2x)(xPeqyypymx)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm10200上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).不是根是单根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程5.232的通解求方程xexyyy解对应齐次方程通解特征方程0232rr特征根2121rr，xxeCeCY221是单根，2y设例(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解此题.)()(2型属于xmxexPxexf其中,1m2)(BAx1xxe2?二阶常系数非齐次线性微分方程6代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为xxeCeC221.232的通解求方程xxeyyyxeBAxxy2)(yyy,,将yYyxexx2)121(对应齐次方程通解xxeCeCY221二阶常系数非齐次线性微分方程7,223)(xeyyyxyy满足微分方程设函数在处的切线与曲线其图形在点1)1,0(2xxy,该点处的切线重合.的解析表达式求函数y解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rrxxeCeCY221(1)求对应齐次方程的通解此题.)(2)(型属于xmxexPexf)1,0(m例1988年考研数学一,8分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数非齐次线性微分方程8)1(是单根y设(2)求非齐次方程的特解Axex1解得2A所以xxey2xxeCeCy221(3)求原方程的特解21,21,yxxyx由得,1)0(y得的坐标代入通解将点,)1,0(211CC即11r1特征根原方程通解为(求函数y的解析表达式),223)(xeyyyxyy满足微分方程设函数在处的切线与曲线其图形在点1)1,0(2xxy,该点处的切线重合.的解析表达式求函数y且xxe2二阶常系数非齐次线性微分方程9得求导将通解,2221xxxxeeCeCyxxxxxeeeCeCy222221由题意,得)0(y即1221CC联立1212121CCCC0121CC将之代入通解得xxxeey2xexy)21(211CC1)0(y2221CC1所以,函数y的解析表达式为二阶常系数非齐次线性微分方程10代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为xxeCeC221.232的通解求方程xxeyyyxeBAxxy2)(yyy,,将yYyxexx2)121(对应齐次方程通解xxeCeCY221二阶常系数非齐次线性微分方程11是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,,0时则当x函数)()1ln(2xyx的极限(A)不存在.(B)等于1.(C)等于2.(D)等于3.2002年考研数学二,3分解)()1ln(lim20xyxx00)(lim20xyxx)(2lim0xyxx00)(2lim0xyx011)0(y2二阶常系数非齐次线性微分方程()yyx设3xypyqye3(0)(0)(0)xypyqye(0)(0)0yy121989年考研数学一,3分baeAx.baxeBx.bxaeCx.bxaxeDx.提示根椐线性微分方程的性质,可先求方程xeyy和1yy的特解,两个解的和就是原方程的特解.Bxxaey1by2特解.()1xyye是微分方程的一个132000级北方交大考题,选择(3分)微分方程的特解y的形式为).(yxxebaeA)(.xcebaxC)(.xcxebaxD)(.xxxebaeB)(.D解特征方程0232rr特征根对应的齐次微分方程2,1rrbaxy1xcxey2二阶常系数非齐次线性微分方程3232xyyyxe323yyyx322xyyye320yyy142002年研究生考题,计算(7分)(1)验证函数)()!3(!9!6!31)(3963xnxxxxxyn满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数.)!3(03的和函数nnnx解(1)因为)!3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn)!13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn)!23(!7!4)(2374nxxxxxynxe二阶常系数非齐次线性微分方程;xyyye15(1)验证函数)()!3(!9!6!31)(3963xnxxxxxyn满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数.)!3(03的和函数nnnx解(2)相应的齐次微分方程为特征方程012rr特征根,23212,1ir对应齐次方程通解为]23sin23cos[212xCxCeYx二阶常系数非齐次线性微分方程;xyyyexyyye与0,yyy16特征根ir23212,1非齐次方程的特解为yxAe代入方程,yyy,,将得,31Axey31方程通解为yYy]23sin23cos[212xCxCexxe31,0时当x1)0(y0)0(y311C31232121CC03221CC二阶常系数非齐次线性微分方程xyyye17于是幂级数的和函数为03)!3(nnnxxxexexy3123cos32)(2)(x二阶常系数非齐次线性微分方程18.323的通解求方程xeyyy解对应齐次方程通解特征方程0322rr特征根1321rr，xxeCeCY231(1)求对应齐次方程的通解此题.)()(3型属于xmxexPexf其中,0m.3)3(是单根(2)求非齐次方程的特解y设1992年考研数学一,6分xxAe3二阶常系数非齐次线性微分方程19代入方程,yyy,,将.323的通解求方程xeyyy,41Axxey341原方程通解为yYyxxeCeC231xxe341xxAey3设对应齐次方程通解xxeCeCY231得二阶常系数非齐次线性微分方程20型二、]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]sincos[)(xPxPexfnlx2[xixilxeePexinleiPP)()22(xiexP)()(,)()(xiexPqyypy设ximkeQxy)(1欧拉公式]2ieePxixinxinleiPP)()22(xiexP)()(二阶常系数非齐次线性微分方程21,)()(xiexPqyypy设ximkeQxy)(2y]sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexmmxk是其中)(),()2()1(xRxRmmnlm,maxk][ximximxkeQeQex欧拉公式)sin(cos[xixQexmxk)]sin(cosxixQm型]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx不是根i01,次多项式m注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程i是根在此且为单根22.sin4的通解求方程xyy解xCxCYsincos21例(1)求对应齐次方程0yy012r特征根ir其通解这是二阶常系数非齐次线性方程.且.sin)(cos)()(型属于xxPxxPexfnlx,0(其中特征方程,1,0)(xPl)4)(xPn0014的通解二阶常系数非齐次线性微分方程23xCxCysincos21(2)求非齐次方程xyysin4i故设代入方程,比较系数.得xxycos2这里i0A]sinx?1yxxxcos2,01特征根ir非齐次方程特解为是特征根.原方程通解为Bxcos[的特解.二阶常系数非齐次线性微分方程24二阶常系数非齐次线性微分方程解例强迫振动与共振问题设一质量为m的电动振荡器安装在弹性梁L的A点处,ptHsin的干扰力(H,p均为常数,H称为干扰幅度,p称为干扰频率),使得横梁发生振动.如图所示,取x轴过A点,方向铅直向下,轴的原点.如果不计阻力和A点处横梁的重量,试求A点在干扰力作用下的运动规律.LAOxcxptHsin如果不计阻力,则A点在振动时受到两个力的作用,一个是弹性恢复力,cx另一个是干扰力,sinptH,sindd22ptHcxtxm牛顿第二定律振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向并设平衡时A点在x25二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd22ptHcxtxm记hmHkmc,2上式化为,sindd222pthxktx初值条件.0)0(,0)0(xx二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.12cossin,XCktCkt(1)求对应齐次方程02xkx022kr特征根kir齐次方程的通解,0(其中特征方程,p,0)(tPl))(htPn的通解且f(t).]sin)(cos)([型属于ttPttPenlt26(2)求非齐次方程的特解.sincosptbptax二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd222pthxktx.0)0(,0)0(xx二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.12cossin,XCktCkt齐次方程的通解其中mck是弹性梁的固有频率.记2kmc根据固有频率k与干扰频率p的关系,情况讨论:※如果,kp那么特征根kirpii不是特征根,故可设代入非齐次方程中,求得,,022pkhba下面分两种27二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd222pthxktx