大学课件 高等数学 对坐标的曲线积分

1curvilinearintegral第二节对坐标的曲线积分问题的提出coordinates对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算第十章曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系小结思考题作业2变力沿曲线所作的功BAL:常力沿直线所作的功分割,0MAABFW实例),(yxFjyxQiyxP),(),(iiMM1jyixii)()(),,(111yxM,),,(111nnnyxMBMn一、问题的提出对坐标的曲线积分OxyAB0M2M1nM1MnM1iML),(iiFixiyiM3求和niiiiiiiyQxP1]),(),([取极限niiiiiiiyQxP1]),(),([iWniiWW1iW取近似取),(iiFjQiPiiii),(),(iiiiMMF1),(iiiiiiyQxP),(),(即近似值精确值对坐标的曲线积分W0limiiMM1jyixii)()(),(iiFOxyAB0M2M1nM1MnM1iMLixiyiM4二、对坐标的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点:把L分成n个有向小弧段111222(,),(,),MxyMxy),(111nnnyxM;,,2,1(1niMMii,,11iiiiiiyyyxxx设iiiiMM1),(为点).,0BMAMn曲线弧,在L上有界.),(),,(yxQyxP函数上任意取定的点.对坐标的曲线积分5,0时iiniixP),(1如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数),(yxP在有向曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,,d),(LxyxPLxyxPd),(即类似地定义LyyxQd),(称),(yxQ在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数iiniixP),(lim10iiniiyQ),(lim10对坐标的曲线积分62.存在条件在光滑曲线弧L上3.组合形式LLyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(“点积”形式第二类曲线积分存在.连续,),(),,(yxQyxP当其中LsFd),,(QPF).d,d(dyxs对坐标的曲线积分74.物理意义WAB所作的功沿⌒AByQxPdd⌒jyxQiyxPF),(),(变力sFWABd⌒对坐标的曲线积分)d,d(dyxs()(dd)ABPiQjxiyj85.推广iiiniixPxzyxP),,(limd),,(10zRyQxPddd空间有向曲线弧Γ,iiiniiyQyzyxQ),,(limd),,(10iiiniizRzzyxR),,(limd),,(10对坐标的曲线积分96.性质,21LLL和分成如果把,是有向曲线弧设LyyxQxyxPd),(d),(LL1L2对坐标的曲线积分与(1)LyQxPdd则1ddLyQxP(2)方向相反的是与LL有向曲线弧,则yyxQxyxPd),(d),(2ddLyQxP曲线的方向有关.LL对坐标的曲线积分LLOxyOxy10对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算思想是因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.上限是终点的坐标.对坐标的曲线积分11,)()(tytxL的参数方程为定理上有定义且在曲线弧设LyxQyxP),(),,(单调地当参数t,时变到由运动到沿的起点从点LALyxM),(,B终点为端点的闭区间上具及在以)(),(tt,有一阶连续导数,d),(d),(存在曲线积分LyyxQxyxP][][QPLyyxQxyxPd),(d),(连续,则且,0)()(22tt且)(t),(tttd)(ttd)(),(t)(tttttQtttPd)}()](),([)()](),([{LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分12特殊情形)(:xyyL)(:yxxLLyyxQxyxPd),(d),(,ax起点为,cy起点为LyyxQxyxPd),(d),((1)(2)b终点为d终点为则xxyxyxQxyxPbad)}()](,[)](,[{yyyxQyxyyxPdcd]}),([)(]),([{则对坐标的曲线积分,)()(:tytxLttttQtttPd)}()](),([)()](),([{LyyxQxyxPd),(d),(13,)()()(:tztytxzzyxRyzyxQxzyxPd),,(d),,(d),,((3)推广,起点t终点)()](),(),([{ttttP)()](),(),([ttttQtttttRd)}()](),(),([对坐标的曲线积分14例上为抛物线其中计算xyLxxyL2,dxy2)1,1(A)1,1(B解的定积分化为对xxyLxxydxxxd)(1023d2xx54AOxxyd⌒OBxxyd⌒xxxd.)1,1()1,1(的一段弧到从BA(1)1010对坐标的曲线积分Oxy15的定积分化为对y2yx112y11到从y14142d5yyLxxyd(2),d2dyyxyyyd2对坐标的曲线积分上为抛物线其中计算xyLxxyL2,d.)1,1()1,1(的一段弧到从BAOxyxy2)1,1(A)1,1(B16其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为312111zyx,1tx1013d)146(tt解化成参数式方程为于是zyxyyxxd)1(dd计算例,21tytz31,0t,1t对坐标的曲线积分A点对应B点对应zyxyyxxd)1(dd10(1)d(12)2d(13)3dtttttt17例Lyxyxx,d)(d2计算(1)L是上半圆周反时针方向;,22xay)0,(aA)0,(aB解,costaxA点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB(1)中L的参数方程为,0t.tB点对应)0,(aA)0,(aB其中taysin原式=23232aa对坐标的曲线积分Oxy220cosd(cos)(sincos)d(sin)atatatatat18Oxy(2)L的方程为原式=xxaad2.aax到从332a)0,(aA)0,(aB,0y对坐标的曲线积分Lyxyxx,d)(d2计算(2)L是x轴上由点到点的线段.)0,(aA)0,(aB其中19ttzztyytxx),(),(),(设A对应例设点M(x,y,z)的向径一单位正电荷沿光滑曲线Γ:,t解即,kzjyixr.||222zyxr根据库伦定律,位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中,求电场所作的功W.从点A移到点B,B对应的电场力位于点M处的单位正电荷受到r对坐标的曲线积分,rOMrrqF3sFWABd⌒,t20因此所求的功为)()(2drrrrqsrrqd323222)(dddzyxzzyyxxq23222)(d)(zyxtzzyyxxq)(1)(1rrq其中)(),(rr)d,d,d(dzyxs分别是点A和B到原点的距离.222||zyxrr2222)ddd(2dzyxzzyyxxr21222)(d)(zyxtzzyyxx对坐标的曲线积分kzjyixrrrqF3sFWd此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无关.凡是具有这种特性的力场,称保守力场.21补充在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与LxyxPd),(P(x,y)为P(x,y)为1d),(2LxyxP其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,LyyxQd),(对称性质对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于下半平面部分的走向相反时,x轴对称,则0y的偶函数y的奇函数的讨论也有相应的结论.对对坐标的曲线积分22例,1||ddABCDAxyyx计算直接化为定积分计算,ABxyyx1ddBCxyyx1ddDAxyyx1ddCDxyyx1dd取逆时针方向.,1||||yx解法一由曲线积分的性质.则ABBCCDDA1yx1yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D其中ABCDA为对坐标的曲线积分011)1(ddxxxx0101)1(ddxxxx011)1(ddxxxx0ABCDA101)1(ddxxxx101)1(d2xxx101)1(d2xxx0tx101)1(ddxxxx101)1(ddxxxxOxy23将原式分成两部分,即ABCDAxyx1||dABCDAxyy1||dABCDAxyx1||d对曲线关于的走向与L在下半部分的走向相反,1yx1yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D法二被积函数为ABCDAxyx1||d利用对称性质,L在上半部分x轴对称,y的偶函数.0对坐标的曲线积分ABCDAxyyx1||dd计算原式Oxy24ABCDAxyy1||d对曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为ABCDAxyy1||d01||ddABCDAxyyx所以,y轴对称,x的偶函数.0对坐标的曲线积分ABCDAxyyx1||dd计算ABCDAxyx1||d01yx1yx1yx)0,1(A)1,0(B)0,1(C)1,0(D1yxOxy25四、两类曲线积分之间的关系为处的切线向量的方向角上点),(yxLLyQxPdd2222()()cos,cos,()()()()tttttt,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为LsQPd)coscos(则,,,d)(dttx,d)(dttytttsd)()(d22对坐标的曲线积分有向曲线弧L的切向量为((),())ttt正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！26,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxzRyQxPdddrAdsAtd可用向量表示),,(RQPA)cos,cos,(costdd(d,d,d)rtsxyz有向曲线元.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyxstAd则sRQPd)coscoscos(推广空间曲线对坐标的曲线积分正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！27例LyyxQxyxPd),(d),(2xy解,411cos2