大学课件 高等数学 函数展开成幂级数

1小结思考题作业函数展开成幂级数★第四节函数展开成幂级数泰勒级数第十一章无穷级数2所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了.将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应用中都是十分重要的.如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式.问:哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?幂级数的系数如何确定?这是本节要讨论的主要问题.3一、泰勒级数nnnxxaxf)()(00以f(x)为和函数1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?1nnnx上节例题)11(x存在幂级数在其收敛域内)1ln(x函数展开成幂级数4的某邻域内有n+1阶导数,则f(x)可表为:公式(1)是函数f(x)在x0处展开的泰勒公式,,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxR其中介于x与x0之间.回顾Rn(x)是拉格朗日余项.若函数f(x)在x0第三章第三节泰勒公式:(1))()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn函数展开成幂级数5如函数f(x)在x0的某邻域内是(2)称幂级数(2)为函数f(x)在x0处的f(x)是否可展为如下的幂级数:自然会想到:不管怎样泰勒级数.nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)()(!1)()(00)(200000无穷次连续可微的,函数展开成幂级数6显然,泰勒级数(2)在什么范围上,收敛于函数f(x),.0)(xRn特别,为函数f(x)的)3(!)0(!2)0(!1)0()0()(2nnxnfxfxff麦克劳林级数.取决于在什么范围上有当x0=0时,称幂级数函数展开成幂级数7证必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii),()()(1xsxfxRnn,)(能展开为泰勒级数设xf)()(lim1xfxsnn)(limxRnn)]()([lim1xsxfnn;0定理1内处泰勒级数在在点)()(00xUxxf)(xf收敛于.0)(lim)(0xRxUnn内在函数展开成幂级数8充分性),()()(1xRxsxfnn)]()([lim1xsxfnn)(limxRnn,0),()(lim1xfxsnn即).()(xfxf的泰勒级数收敛于0)(limxRnn设函数展开成幂级数9证nnxxaxxaaxf)()()(0010由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,定理2(函数幂级数展开的唯一性)内可展为幂级数在如果函数)()(0xUxf则其系数,)()(00nnnxxaxf于是,1!0规定：).()(00)0(xfxf),2,1,0(n)(!10)(xfnann函数展开成幂级数10)(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn,0xx令),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数是唯一的,10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf泰勒系数,)()1()(23!2)(20032nnxxannxxaaxf即得函数展开成幂级数所以,f(x)的展开式是唯一的.11问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.0,00,)(21xxexfx如),2,1,0(0)0()(nfn且00)(nnxxf的麦氏级数为.0)(),(xs内和函数该级数在可见,0外除x在x=0点任意可导,函数展开成幂级数f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x).121.直接展开法(泰勒级数法)步骤;!)0()1()(nfann求.0)(lim)3(xRnn讨论(2)写出泰勒级数,!)0(0)(nnnxnf并求收敛半径R.如,0)(limxRnn二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数则级数在收敛区间内收敛于f(x).13例解.)(的幂级数展开成将xexfx,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfn其收敛半径因泰勒公式的余项,)!1()(1nnxnexR(ξ介于0,x之间)它满足不等式nxnxx!1!2112~xeR=+∞.函数展开成幂级数14)(xRn.)!1(1nxenx对任一确定的,Rx是处处收敛的幂级数的一般项.0!nnnx),(!1!2112xxnxxenxxe是确定的数,)!1(1nxn而所以在上恒有),(x.0)(limxRnn有展开公式1)!1(nxne于是,函数展开成幂级数15例.sin)(的幂级数展开成将xxxf解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf),2,1,0(n其收敛半径)!12()1(!51!311253nxxxxnn),(x对内任一点x,有R=+∞.函数展开成幂级数16)!1(1nxn)(xRn于是,有展开公式)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x1)!1(2)1(sinnxnn0)(n函数展开成幂级数17例.)()1()(的幂级数展开成将xRxxf解,)1)(1()1()()(nnxnxf),1()1()0()(nfn),2,1,0(nnxnnxx!)1()1(!2)1(12nnnaa1limlim1nnn11R函数展开成幂级数18所以的泰勒级数的收敛区间是)1(x对不同的,1处在x为了避免讨论余项的极限,设在区间)1(x的泰勒级数和函数s(x),即设nxnnxxs!)1()1(1)(下面证明).1,1(,)1()(xxxs由逐项求导得1)!1()1()1()1()(nxnnxxs).1,1(内)1,1(函数展开成幂级数,敛散性不同.11(1)(1)1.1!(1)!nnxxn19两边同乘以(1+x)后,注意右边方括号内的xn系数为.!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnnnnn)()1(xsx1222!)1()1(!2)1(nxnnxx)(xs,1)()(xxsxs.1)0(s且函数展开成幂级数11(1)(1)()1.1!(1)!nnSxxxn20两边积分,d1d)()(00xxxxsxsxx)1,1(x得),1ln()0(ln)(lnxsxsnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2牛顿二项式展开式注.1的取值有关处收敛性与在x);1,1(1收敛区间为];1,1(11收敛区间为].1,1[1收敛区间为函数展开成幂级数21有时当,21,1)1,1()1(11132nnxxxxx]1,1(!)!2(!)!32()1(64231421211132nnxnnxxxx]1,1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132nnxnnxxxx双阶乘函数展开成幂级数22),(!1!2112xxnxxenx)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2.1的取值有关处收敛性与在x);1,1(,1收敛区间为];1,1(,11收敛区间为].1,1[,1收敛区间为常见的展开式函数展开成幂级数23将函数用直接展开法展开为幂级数,而且对许多函数来说求各阶导与讨论拉格朗日型余项Rn(x)趋于零的范围下面介绍计算工作量大.一般数间接展开法.都是困难的.函数展开成幂级数242.间接展开法根据展开的唯一性,它与直接展开法得到的结果是一致的.利用常见展开式及等比级数的和等,通过逐项求导,逐项积分,变量代换,四则运算,恒等变形等方法,求展开式.函数展开成幂级数25例)(sincosxx1cosx),(x(1)逐项求导,逐项积分法展开为x的幂级数.解)!2()1(20nxnnn)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x2!21x4!41x)!2()1(2nxnnxcos)!2()1(20nxnnn),(x函数展开成幂级数xxfcos)(将26例展开为x的幂级数.解,11)(arctan2xx而,)1(1112422nnxxxx)1,1(x12)1(51311253nxxxxnn]1,1[xxarctan21dxxxarctan12)1(51311253nxxxxnn]1,1[x0x函数展开成幂级数xxfarctan)(将27)1ln(x,)1(3121132nxxxxnn]1,1(x例将展开为x的幂级数.解,11])1[ln(xx而,)1(1112nnxxxx)1,1(x注利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.xx1d)1ln(x,)1(3121132nxxxxnn]1,1(x0x)1ln()(xxf函数展开成幂级数28有121)1(513114nnnn1)1(312112ln112)1(5131arctan1253nxxxxxnnnxxxxxnn132)1(3121)1ln(,2ln)11ln(1时，当x,41arctan1时，当x有]1,1(x]1,1[x函数展开成幂级数291989年研究生考题,计算,6分.11arctan的幂级数展为将函数xxxy解xxxf11arctan)(由41arctan)0(f且21111)(xxxf2)1()1)(1()1(1xxx211xxttf0d)(由)0()(fxfxtf0)(4)(xfnnnx20)1()11(x例nnxxxx2422)1(111)1,1(x函数展开成幂级数304)(xfttnxnnd)1(200002d)1(4nxnntt012121)1(4nnnxn)11(x.11arctan的幂级数展为将函数xxxy函数展开成幂级数311994年研究生考题,计算,5分xxxxxfarctan2111ln41)(将函数.的幂级数展成x,141)(141nnxnxf解