大学课件 高等数学 可降阶的高阶微分方程

1小结思考题作业)()(xfyn型的方程),(yxfy型的方程),(yyfy型的方程第三节可降阶的高阶微分方程第十二章微分方程2)()(xfyn一、型的方程特点是未知函数y的n阶导数,且不含未知函数y及其.y两边积分1)1(d)(Cxxfyn21)2(d]d)([CxCxxfyn……接连积分n次,右端是自变量x的一个已知函数,导数左端)()(xfyn再积分得到含有n个任意常数的通解.1)1(d)(Cxxfyn可降阶的高阶微分方程3例求解方程xeyxcos3解将方程积分三次,得xey331xey391xey3271最后得到的就是方程的通解.xsin1CxcosxC12Cxsin21xCxC23C可降阶的高阶微分方程4二、型的方程),(yxfy特点方程缺y.解法,py将p作为新的则方程变为p这是一个关于变量x,p的一阶微分方程.如果其通解为),,(1Cxpp则由),(1Cxpy再积分一次,21d),(CxCxpyy可求出原方程的通解设xpdd.p未知函数，),(fpx可降阶的高阶微分方程54,100xxyy例解方程因方程中不含未知函数y,,py解令型属),(yxfy,py代入原方程,得3213xpxpp的可分离变量的一阶方程xxxppd13d3213ln)1ln(lnCxp)1(31xCp由初始条件40xy知C1=4,所以)1(43xyy的分离变量方程3213xyxy可降阶的高阶微分方程6xxyd)1(4d3244Cxxy再由初始条件,10xy知C2=1故所求解为144xxy4,100xxyy3213xyxy可降阶的高阶微分方程7阶方程的、、、对于不含有nyyyk)1(0),,()()(nkyyxF令.)(kyp0),,,()(knppxF求出通解后,只须作变换,再积分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化为阶方程kn可降阶的高阶微分方程8例解方程.01)4()5(yxy解令,)4(yp则方程变为,01pxp由分离变量法解得.1xCp于是,1)4(xCy所以原方程的通解为54233251CxCxCxCxCy积分4次可分离变量方程可降阶的高阶微分方程9xyydd22ddxyy特点解法方程缺自变量x三、型的方程),(yyfy则xpddxydd,ddypp方程变成yppdd这是关于变量y,p的一阶方程.设它的通解为).,(1Cyp分离变量并积分,得通解为21),(dCxCyyp设ypdd).,(pyfyp)(yp))((ypx可降阶的高阶微分方程10.212的通解求方程yyy解,ddyppy则,py设代入原方程例型属),(yyfyyppddyp212yypppd1d22可分离变量方程12lnln)1ln(CypyCp12111yCp即1dd1yCxy可分离变量方程可降阶的高阶微分方程111dd1yCxyxyCyd1d121112CxyCC可降阶的高阶微分方程12.02的通解求方程yyy解,ddyppy则,py设代入原方程y0)dd(pypyp即，由0ddpypy,1yCp可得xCeCy12原方程通解为yCxy1dd例yppdd2p,0型属),(yyfy可降阶的高阶微分方程13的通解求方程02yyy22yyyyyCy1故从而通解为xCeCy12或解注有些高阶方程也可用类似于“凑全微分”的方法求解.21y)(ddxyy0可分离变量方程1Cyy两端同乘不为零的因子可降阶的高阶微分方程14.02的通解求方程yyy解将方程写成0)(ddx故有xCyydd1两边积分后得通解212CxCy例yy1Cyy可分离变量方程分离变量型属),(yyfy可降阶的高阶微分方程15可降阶的高阶微分方程解例设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射制导导弹,乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线目标的跟踪问题导弹头始终对准乙舰.如果行驶,导弹的速度是5v0,又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?)(xyy)0,1(A),(yxP),1(0tvQ设导弹的轨迹曲线为),(xyy并设经过时间t,导弹位于点P(x,y),乙舰位于点Q(1,v0t)由于导弹头始终对准乙舰,故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处(如图).的切线,即有求导弹运行的曲线方程.,10xytvyOyx16可降阶的高阶微分方程Oyx)(xyy)0,1(A),(yxP),1(0tvQ,10xytvy即.)1(0yyxtv如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,弧OP的长度为|AQ|的5倍,即.5d1002tvxyx(1)(2)由(1)式与(2)消去v0t就得.d151)1(02xyyyxx积分方程(3)17可降阶的高阶微分方程.d151)1(02xyyyxx积分方程(3)将(3)式两端对x求导并整理,得.151)1(2yyx方程(4)转化为,py令型属),(yxfy初值条件:Oyx)(xyy)0,1(A),(yxP),1(0tvQ.0)0(,0)0(yy(4),151)1(2ppx.)1(5d1d2xxpp可分离变量方程分离变量的二阶微分方程的初值问题.18可降阶的高阶微分方程.)1(5d1d2xxpp两边积分,ln)1ln(51)1ln(2Cxpp根据初始条件,0)0(p,)1(ln51xC即,)1(1512xCpp得.1C得.)1(1512xyy将(5)式有理化,得(5)1251(1).yyx(6)(5)-(6),得.)1()1(215151xxy19可降阶的高阶微分方程根据初始条件得.245C.)1()1(215151xxy.)1(125)1(855654Cxxy,0)0(y于是有.245)1(125)1(855654xxy这就是导弹运行的曲线方程.又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?Oyx)(xyy)0,1(A),(yxP),1(0tvQ得,1时当x即当乙舰航行到点245,1处时被导弹击中.,245y202002年考研数学一,3分02yyy微分方程满足条件,10xy210xy的特解是1xy或12xy解0)(ddx故有yy1Cyy可分离变量方程,10xy由210xy211C即21yy2222Cxy10xy由212C12xy可降阶的高阶微分方程21012yy求微分方程的积分曲线,2000级北方交大考题,计算(8分)使该积分曲线过点,21,0且在该点的切线斜率为2.解方程012yy型属),(yyfy,ddyppy则,py设代入方程,得1dd2yppy1212Cyp01Cyxy2dd223232Cxy2322132C所求积分曲线为232321223xy可降阶的高阶微分方程22四、小结解法:通过代换将其化成较低阶的方程来求解.三种类型的可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程23思考题1996年考研数学一,7分处上点过曲线对))(,()(,0xfxxfyxxttfxy0,d)(1轴上的截距等于的切线在.)(的一般表达式求xf解))(()(xXxfxfY,0X令轴上的截距得切线在y)()(xfxxfYxttfx0d)(1)]()([d)(0xfxxfxttfx积分方程过曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线方程为可降阶的高阶微分方程24处上点过曲线对))(,()(,0xfxxfyx.)(的一般表达式求xf积分方程两边对x求导,即0)()(xfxfx型可降阶的方程属于),(yxfy)()(xpxf令)()(xpxf且代入上式,得0)()(xpxpx可分离变量方程可降阶的高阶微分方程01()d,xyfttx的切线在轴上的截距等于0()d[()()]xfttxfxxfx2521ln)(CxCxf0)()(xpxpx可分离变量方程分离变量并积分xxppd1d1得xCCxp11lnlnlnln,1xCp即,)(1xCxf即再积分,得,dd)(1xxCxxf即为所求.可降阶的高阶微分方程26作业习题12-6(292页）1.(2)(3)(6)2.(2)(3)(6)3.可降阶的高阶微分方程