大学课件 高等数学 空间解析几何与向量代数

1第七章空间解析几何与向量代数几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题:1.向量、向量的一些运算;2.空间中的平面与直线;3.空间中的一些曲面和曲线;4.二次曲面.在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维2第一节向量及其线性运算向量概念向量的线性运算小结思考题作业空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模方向角第七章空间解析几何与向量代数3向量既有向量表示a模长为1的向量.21MM00a零向量模长为0的向量.0||a21MM||向量的模向量的大小.单位向量或或或的量.又有大小方向a以1M为起点,2M为终点的有向线段.21MM1M2M一、向量概念向量及其线性运算(vector)(module)4自由向量不考虑起点位置的向量.相等向量大小相等且方向相同的向量.负向量大小相等但方向相反的向量.aabaa向量及其线性运算ba记作5加法cba（平行四边形法则）特殊地若a‖b||||||bac分为同向和反向||||||bac（平行四边形法则有时也称为三角形法则）(1)加法定义二、向量的线性运算1.向量的加减法向量及其线性运算abbaabbacaabbcb6(2)向量的加法符合下列运算规律交换律ba结合律cba);(cba.0)(aa减法baabbbcbabac)((3)减法定义;abcba)()(bac向量及其线性运算abbaba7,0|;|||aa,0;0a,0.||||||aaaa2a212.向量与数的乘法(简称数乘运算)注向量aa向量的“伸缩”,是一个数设向量与a的乘积a规定为aa与同向,aa与反向,为向量.与数的乘积向量及其线性运算8(2)数与向量的乘积符合下列运算规律结合律)(a;)(a分配律a)(第一分配律)(ba第二分配律)(a;aa.ba线性运算向量及其线性运算由向量常用数乘运算说明两向量平行关系(两向量共线的充要条件):定理1.ab使aa与平行,设向量∥ab则存在唯一的实数,||aaaaa就是与||a0同方向的单位向量.记作0,a9下列命题是否正确错,错,(1)ji2.1,0)2(aaa时选择题设向量互相平行,但是方向相反,则当ba,0||||ba|;|||||)(babaA()||||||;()||||||.CababDababA没有定义向量的除法.向量不能比较大小,只有模才能比较大小.时,必有()向量及其线性运算()||||||;Babab10例化简53215abbba解53215abbbaba551251)31(ba252向量及其线性运算11例试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证ABCDMAMMCBMMDADAMMDMCBMBC结论得证.∥BCAD且BCAD向量及其线性运算12上两式相减得：,cba,acca,)1()1(ca.01,01且故只能1,1即设均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但与共线,与共线.证明：cba,,baca.0cba证.0cba,acb为常数..不共线与而ca向量及其线性运算bc13x横轴y纵轴z竖轴定点O空间直角坐标系,三个坐标轴的点O叫做坐标原点(或原点)正方向符合右手系即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.三、空间直角坐标系1.空间点的直角坐标ijkOxyz称坐标系或],,;[kjiO坐标系.向量及其线性运算14ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyzO向量及其线性运算空间直角坐标系共有八个卦限面xOy面yOz面zOxⅦ15空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C向量及其线性运算OxyzB),,0(zyR),0,0(zA)0,,(yxQ)0,,0(yP)0,0,(x),,(zyxM16(3)点M(2,-3,1)关于y轴的对称点是().(1)点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是();选择题(2)点M(2,-3,1)关于xOy面的对称点是();(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).ACB向量及其线性运算17P?21MMd21PM、设),,(1111zyxM),,(2222zyxM为空间两点.2PN22NM2d在直角三角形21NMM和PNM1中,用勾股定理,121xxPM,12yyPN122zzNM向量及其线性运算2.空间两点间点的距离22221NMPNPMd21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式xyzO2M1MRQNd18若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd222zyx特殊地向量及其线性运算向径空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.OM常用r表示.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式19解设P点坐标为)0,0,(x1PP2223)2(x112x2PP2221)1(x22x1PP22PP112x222x1x所求点为),0,0,1()0,0,1(向量及其线性运算例)3,2,0(,1PxP它到点轴上在设的距离为到)1,1,0(2P点的距离的两倍,求点P的坐标.201.两向量的夹角的概念,0a0bab),(ba),(ab)0(类似地,特殊地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在与0之间任意取值.向量及其线性运算向量a与向量b的夹角四、利用坐标作向量的线性运算21空间一点在轴上的投影u过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上A交点的投影.向量及其线性运算空间一向量在轴上的投影轴u称为投影轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为BA,那么轴u上的有向线段BA的值,称为向量在轴u上的投影.2.向量在轴上的投影AABAuAB22ABjuPrBAABjuPrcos||ABProjection在轴u上的向量AB轴与向量的夹角的余弦：向量AB在轴u上的投影记为投影性质1投影等于向量的模乘以向量及其线性运算uAB)(投影有正、注负之分;模只为非负值.cos||)(ABABuBAABuuB23)(Pr21aaju（可推广到有限多个）)(Praju两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.1Praju2PrajuajuPr向量及其线性运算投影性质2投影性质324112,,OuABuu是轴坐标原点、坐标依次为.的两个点证,1uA的坐标为因点同理于是例,1uOA即故向量及其线性运算.)(:12euuAB证明,1euOA.2euOBOAOBABuOB2uA1u),(如图同方向的单位向量是与轴uee2121().ueueuue253.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标上投影分别在轴点uMM21,.,21PP为点uPP在轴又设21,.,21uu.121221uuOPOPPP而.12uuau向量及其线性运算,21为一向量设MMa上在轴由向量uMM21)(21MM的投影.ua如是与轴u正向一致的单位向量,e因此可知:.)(12euueaPPu21上坐标分别为1P2P1M2MuO)(1u)(2u26kajaiaazyx12xxax12yyay12zzaz向量及其线性运算),,,(1111zyxM),,(2222zyxM起点终点PNQR,21MMa向量在x轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z轴上的投影21MMa按基本单位向量的坐标分解式：kzzjyyixx)()()(121212向量的坐标表达式：21MMa),,(121212zzyyxx坐标坐标坐标x轴分向量y轴分向量z轴分向量特殊地),,(zyxOMxyzO1M2Maijk27),,(zyxaaaa),,(zyxbbbb),,(zzyyxxbabababa),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(向量及其线性运算4.利用坐标作向量的线性运算28由按坐标表示式即为:zzyyxxababab当分母为零理解为分子也为零.注向量及其线性运算也即向量与对应的坐标成比例:ba定理.ab使设向量∥ab则存在唯一的实数(,,)(,,)xyzxyzbbbaaa0,a29解AMMB设),,(zyxM为直线上的点,oxyzAB向量及其线性运算例已知两点),,(),,(222111zyxBzyxA和以及实数,1在直线AB上求点M,使MBAM),,(111zzyyxx),,(222zzyyxx),,(111zzyyxx),,(222zzyyxx1xx)(2xx,121xxx,121yyy.121zzz同理,得的定比分点为有向线段ABMM30非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量的方向角：a、、,0,0.0向量及其线性运算五、向量的模、方向角(directionangle)xyzO1M2Ma31由图分析可知xayaza向量的方向余弦方向余弦222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM向量及其线性运算(directioncosine)通常用来表示向量的方向.cos||acos||acos||axyzO1M2MaPQR320222zyxaaa当时，,cos222zyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式cos||aaxcos||aaycos||aaz1coscoscos222方向余弦的特征(cos,cos,cos)||aa特殊地向量及其线性运算oa33解222)6(76||a11||aa0akji116117116或0a||aakji116117116a所求向量有两个,一个与同向,一个与a反向.向量及其线性运算||aaoa求平行于向量的单位向量kjia676例的分解式.34解、、,341coscoscos22221cos,33222cos,21cos向量及其线性运算设有向量例,21PP已知,2||21PP它与x轴和y轴的夹角分别为