大学课件 高等数学 空间直线及其方程

1第六节空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角小结思考题作业(spacerightline)第七章空间解析几何与向量代数212定义空间直线可看成两平面的交线.0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L注;)1(222111不成比例、、与、、CBACBA(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.空间直线及其方程xyzOL3方向向量的定义如果一非零向量平行于sL已知直线上点0MM,),,(LzyxMsMM0//),,,(pnms二、空间直线的对称式方程与参数方程1.对称式方程一条直线可以有许多方向向量.求此直线的方程一条已知直线,这个向量称为这条直线的方向向量.),,(0000zyxM的直线L称为、、的三个坐标pnmss空间直线及其方程方向数.xyzO4pzznyymxx000直线的对称式方程pzznyymxx000令直线的参数方程),,(0000zzyyxxMM因为故sMM0//故直线方程的几种形式可以互相转换.(点向式、标准式）tmtxx0ntyy0ptzz0空间直线及其方程5例解取所求直线方程为11xpzznyymxx000·M1·M2s求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.向量21MM与直线平行)2,4,1(s21MM42y23z过两点作直线空间直线及其方程6),,(),,,(22221111zyxMzyxM则直线的一个方向向量为:于是对称式方程可写成:121121121zzzzyyyyxxxxpzznyymxx000一般,如直线过两点),,(121212zzyyxx21MM空间直线及其方程7解交点为),0,3,0(B取BAs),4,0,2(所求直线方程22x.A.Bs,),4,3,2(轴垂直相交且和一直线过点yA.求其方程例03y.44z空间直线及其方程xyzO8可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为111101zyx可写成一般方程可将直线的对称式方程又如110101zyx注)0(zy即可写成一般方程pzznyymxx00001x11zy1x1y化为一般方程吗各类直线方程的互换空间直线及其方程xyzO1192.直线的一般方程化为对称式方程怎样将直线的一般方程(1)用代数的消元法化为比例式;有两种方法(2)在直线上找一定点,再求出方向向量,(重要)化为对称式方程即写出对称式方程.空间直线及其方程10写成比例式,7351zyx例0220123zyxzyx将解法一0220123zyxzyx(1)(2)015yx037zx)2(2)1()2()1(.z可消去.y可消去两个方程中,每一个只有两个变量,共同的变量即得对称式方程.化为对称式方程.解出x.空间直线及其方程此直线上一定点为方向向量为(0,1,3),(1,5,7)s11先求直线上一定点:于是得直线上的一定点取21nns对称式方程7578173zyx将化为对称式方程.0220123zyxzyx0220123zyxzyx,73x,0,78,73因所求直线与两平面的法向量都垂直.)1,1,2()1,2,3(2n1ns法二,0代入以z00)7,5,1(78y空间直线及其方程12Ls12两个对称式方程7351zyx7578173zyx实际上直线的对称式方程不唯一.注意都满足这两个对称式方程,,0,78,73),3,1,0(过两点确定唯一的因此这两个对称式方程表示同一条怎么不一样答:(当定点取得不同时对称式方程不同).另外可验证,两个点一条直线,直线.空间直线及其方程133.直线的参数方程上式何时有用如求tpzznyymxx000设为参数ttpzztnyytmxx000直线的参数方程故答:),,(pnms直线与平面的交点.空间直线及其方程14241312zyx令241312zyx得62zyx解tztytx243206)24()3()2(2ttt1t再代入代入平面方程,求直线例与平面的交点.t得,1x,2y.2z空间直线及其方程15解先作一过点M且与已知直线垂直的平面3再求已知直线与该平面的交点N,令12131zyxtztytx1213.M垂直相交的直线方程.12131)3,1,2(zyxM且与直线求过点例N21)2(x)1(y)3(z0t空间直线及其方程1673t交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为MNMN)373,1713,272()724,76,712(直线方程为451122zyx想一想0)3()1(2)2(3zyxtztytx1213代入得将)3,1,2(M直线过点.MN还有别的方法吗?空间直线及其方程17定义直线:1L111111pzznyymxx直线:2L222222pzznyymxx),cos(21LL^两直线的方向向量的夹角称之.两直线的夹角公式三、两直线的夹角（锐角）222222212121212121pnmpnmppnnmm空间直线及其方程18两直线的位置关系:21)1(LL,0212121ppnnmm21)2(LL//,212121ppnnmm直线:1L直线:2L),0,4,1(1s),1,0,0(2s,021ss,21ss例.21LL即(两直线垂直、平行的条件):1L:2L),,,(1111pnms),,(2222pnms空间直线及其方程19与直线及112211zyx都平行且过原点的平面方程为().1987,数学一考研填空,(3分)tztyx2110zyx提示平面过原点由点法式方程即可得.法向量1.)1,1,1()1,2,1()1,1,0(n空间直线及其方程202.垂直的且与直线过点1432)1,2,1(tztytx).(平面方程是1990,数学一考研填空,(3分)043zyx3.130211:1zyxL过直线且平行于).(11122:2的平面方程为直线zyxL1991,数学一考研填空,(3分)023zyx提示)3,2,1(点)1,3,1()1,1,2()1,0,1(21ssn)1,3,1(n提示空间直线及其方程21与两直线182511:1zyxL).(326:2的夹角为与zyyxL1993,数学一考研选择,(3分)6.A4.B3.CC2.D提示22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的夹角公式:4.)2,1,1()1,2,0()0,1,1(2s)1,2,1(1s空间直线及其方程22解设所求直线的方向向量为),,,(pnms,1ns,2ns取21nns),1,3,4(.153243zyx所求直线的方程例的交线平行的直线方程.和且与两平面求过点34)5,2,3(zx152zyx过已知直线外一点作直线与已知直线平行空间直线及其方程23直线和它在平面上的投影直线的定义20,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx),,,(pnms),,,(CBAn2),(ns^2),(ns^四、直线与平面的夹角夹角sin2cos空间直线及其方程称之..2cos24直线与平面的夹角公式直线与平面的)1()2(//(直线与平面垂直、平行的充要条件)sin222222||pnmCBACpBnAm;pCnBmA.0CpBnAmLL位置关系：空间直线及其方程25解),2,1,1(n),2,1,2(s222222||sinpnmCBACpBnAm96|22)1()1(21|.637637arcsin为所求夹角.,21121:zyxL设直线例,32:zyx平面求直线与平面的夹角.空间直线及其方程26,031020123zyxzyxL为设直线1995,数学一考研选择,(3分)).(,0224则为平面zyx平行于LA..上在LB垂直于LC.斜交与LD.C(,,)(1,3,2)(2,1,10)smnp//提示)7,14,28()1,2,4(空间直线及其方程27平面束的方程设有两块不平行的平面其中系数不互相成比例交成一条直线L过直线L的所求全体平面平面束)1(0:11111DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA作(3)表示过直线L的平面)(2除0)(2222DzCyBxA1111DzCyBxA)3()2(0:22222DzCyBxA空间直线及其方程28解·想一想还有别的方法吗?试比较哪种方法简单?的和点求过直线)1,1,1(010zyxzyx.平面方程)1(0)1(zyxzyx将点代入(1)中,得)1,1,1(0)1111(11123将代入(1)中,得23035zyxn例过已知直线的平面束方程为空间直线及其方程29例解且与平面求过直线,0405:zxzyx过已知直线的平面束方程为0)4(5zxzyx04)1(5)1(zyx即其法向量又已知平面的法向量).8,4,1(2n.401284角的平面方程组成zyx1n)1,5,1(空间直线及其方程304cos222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222即由此得.43代回平面束方程为.012720zyx且与平面求过直线,0405:zxzyx.401284角的平面方程组成zyx2121nnnn0)4(5zxzyx)1,5,1(1n空间直线及其方程)8,4,1(2n31上海交大考题(98级)的两个互相求通过直线020:zyxyxL.,zyx线其中一个平面平行于直垂直的平面解设平面束方程02)1()1(zyx,1的平面为设平行于直线zyx0)1()1(2方程平面1,21的平面方程为又设垂直于由即;0423zyx由02)1(3)1(31),1,1(1n.02242zyx方程平面空间直线及其方程12(2)0xyxyz32思考题1想一想下述问题能否转化为用点法式确定平面方程？(1)过两条相交直线,确定一平面;(2)过