大学课件 高等数学 幂级数

1幂级数的运算小结思考题作业powerseries第三节幂级数幂级数及其收敛性函数项级数的概念第十一章无穷级数21.定义0nnx级数)(1xunn如)(,)(),(21xuxuxun设则函数项级数.)()()(21xuxuxun21xx定义1幂级数一、函数项级数的概念为定义在(a,b)内的函数序列,称为定义在(a,b)内的32.收敛点与收敛域),,(0bax设若数项级数0x收敛(或发散)则称x0为函数项级数)(1xunn的收敛点(或发散点).函数项级数的)(1xunn所有收敛点(或发散点)称为其收敛域(或发)(1nnu定义2散域).幂级数43.和函数定义3)}({xsn设为函数项级数),()(limxsxsnn则s(x)称为函数项级数和函数.)(1xunn的前n项和序列,若极限),(bax存在,的)(1xunn幂级数如,201xxxnn它的收敛域为,1||x发散域为.1||x等比级数在收敛域内和函数是,11x即有,111xxnn).1,1(x5)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是)(xs定义域),(xsn显然s(x)的定义域就是,)1,1(上D201xxxnn),,1()1,()()()(21xuxuxun级数的收敛域.数项级数的收敛问题.幂级数一般考虑函数,11时x它的定义域是但只有在它才是的和函数.6例nxnnn311)1(解由比值(达朗贝尔)判别法nnnuu1lim3x31limxnnn(1)当时,1x原级数(2)当时,1x原级数nxnxnnn3331lim绝对收敛;发散.求函数项级数的收敛域.幂级数7级数为,1)1(11nnn条件收敛级数为,11nn发散总之,所讨论的级数的收敛域为区间把函数项级数中的变量x视为参数,时，即1,1xx时，1x时，1x(3)1x当通过常数项级数的敛散性判别法,哪些x值发散,些x值收敛,来判定函数项级数对哪这是确定函数项级数收敛域的基本方法.nxnnn311)1(].1,1(幂级数81.定义,00时当x,0nnnxa如下形式的函数项级数nnnxxa)(00称为的幂级数..为常数其中na的幂级数.定义)(0xxnnnxxa)(00称为xnnxxaxxaa)()(0010幂级数二、幂级数及其收敛性92.收敛半径和收敛域201xxxnn,1||时当x,1||时当x级数);1,1().,1[]1,(幂级数收敛;发散;收敛域发散域10证0lim0nnnxa收敛00)1(nnnxa阿贝尔(Abel)(挪威)1802–1829nnnxa0nnnxa0||||0xx定理1(阿贝尔(Abel)定理))0(00xxx在||||0xx处在0xx则它在满足不等式绝对收敛;发散.收敛,发散,幂级数如果级数则它在满足不等式的一切x处如果级数的一切x处从而数列}{0nnxa有界,即有常数M0,使得0||(0,1,2,)nnaxMn11nnxannnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa0nnnxa即级数nnnnxxxa00||||0xx;|)||(|0绝对收敛xx幂级数0(2),xx定理所设当时发散由(1)结论,这与定理所设矛盾.使级数收敛,则级数时应收敛,0xx当(反证)假设有一点x1适合||||01xx||||0xx0||(0,1,2,)nnaxMn12Ox推论nnnxa1也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确幂级数绝对收敛;,||时当Rx,||时当Rx幂级数发散.幂级数,时与当RxRx可能收敛也可能发散.幂级数几何说明RR收敛区域发散区域发散区域如果幂级数不是仅在x=0一点收敛,定的正数R存在,它具有下列性质:13正数R称为幂级数的幂级数的收敛域的开区间称为幂级数的),,[RR],,(RR].,[RR规定,R问:如何求幂级数的收敛半径?),,(RR定义收敛半径.收敛区间.幂级数(1)幂级数只在x=0处收敛,,0R无收敛区间，收敛域为;0x(2)幂级数对一切x都收敛,收敛区间).,(而一般幂级数的收敛域可能为下列区间之一：14证,0nnnxa对级数nnnnnxaxa11limxaannn1limx设,0)1(时当,0)2(时当,)3(时当;1R;R.0R定理2nnnxa0如果幂级数的所有系数0nannnaa1lim）或nnalim(n幂级数由比值审敛法,15,)0(lim)1(1存在如果nnnaa,1||时当x0||nnnxa级数0nnnxa,1||时当x0||nnnxa级数|,|||11nnnnxaxa0nnnxa||lim1xaannn1R收敛半径0||nnxa幂级数收敛,从而级数绝对收敛.发散,并且从某个n开始从而级数发散.比值审敛法16,0)2(如果,0x),(011nxaxannnn有0||nnnxa级数0nnnxa;R,)3(如果,0x0nnnxa级数)||00收敛使nnnxax.0R定理证毕.||lim1xaannn幂级数收敛,从而级数绝对收敛.收敛半径必发散.(否则由定理1知将有点收敛半径17例求下列幂级数的收敛半径与收敛域:解)1(nnnnn21)1(21lim12R1)()2(nnnx12)!2()!()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(112)1(nnnnx21nnnaa1lim)1(2limnnn1R幂级数18,2时当x,2时当x,)1(1nnn级数为,11nn级数为是收敛的交错级数.是调和级数,发散.故收敛域为).2,2[,级数只在0x处收敛.0R1)()2(nnnx解nnlim12)1(nnnnxnnalimn幂级数19nnnaa1lim12)!2()!()3(nnxnn)22)(12()1(lim2nnnn)!2()!(!)1(2!)1(lim22nnnnn414R解1R幂级数20级数为正项级数124)!2()!(nnnn因为112221nnuunn所以,0limnnu故级数发散.124)!2()!(nnnn对应的常数项级数也发散.当x=4时,,4时当x).4,4(12)!2()!()3(nnxnn故收敛域为幂级数212121||xt)1,0(xnnnnxn)21(2)1()4(1,0时当x11nn级数为,1时当x1)1(nnn级数为发散收敛故收敛域为R21,21xt令nnnntn2)1(1解还有别的方法吗1limnnnaannn21lim(0,1].即收敛即收敛幂级数22解是缺偶次幂的幂级数.)()(lim1xuxunnn例求函数项级数的收敛区间.)!12()1(ln120nxxnnn去掉第一项,1232||)!12()!32(||limnnnxnnx)32)(22(||lim2nnxn所以,去掉第一项,级数处处收敛.定义域为0因为第一项lnx的所以,原级数的收敛区间是幂级数,0x).,0(比值审敛法232002年研究生考题,选择(3分)例nnnxa1设幂级数nnnxb1与的收敛半径分别为,3135与则幂级数nnnnxba122的收敛半径为()5)(A35)(B31)(C51)(DA分析22nnnbac设1nncc212122nnnnabba2121nnnnaabb535322幂级数注：选择填空题可以加强条件做！24讨论幂级数的收敛域.13)1(201nnnnx解此级数是缺项的幂级数,作变换,令,2xy级数变为13)1(01nnnny因为131131lim1nnnyR3当y=3时,级数为,133)1(01nnnn由于133limnnn所以此级数发散.不满足定理2的条件.,01幂级数25故y(≥0)的幂级数收敛域是因此,原幂级数收敛域是.33x收敛半径.3R即为:.30y,302x幂级数26确定函数项级数的收敛域.1)(nxnnnxn解对任意固定的x,xnnnnxnxu)()(nxnnxnxu11)(0即用比较审敛法的极限形式:)(limxunn而级数是p=x的p–级数,11nxn所以,当n充分大时,有nnnx1limxexn1发散.故级数的收敛域为.1x,),,(充分大时当任意nx可视为.正项级数幂级数时1x收敛.时1x271988年研究生考题,计算,5分.)3(311的收敛域求幂级数nnnxn解,)3(31)(nnnxnxu由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11|3|)1(3limxnnn|3|31x,1|3|31x令)6,0(x即)()(lim1xuxunnn得幂级数28内在开区间)6,0()3(311nnnxn,0时当x,6时当x的收敛域为因而nnnxn)3(311).6,0[nnn1)1(111nn幂级数处处收敛.收敛发散291.代数运算性质(1)加减法00nnnnnnxbxa0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbac),(RRx00nnnnnnxbxa和设幂级数三、幂级数的性质的收敛半径各为R1和R2,30(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa0nnnxc),(RRx(其中)0110bababacnnnn(3)除法00nnnnnnxbxa0nnnxc)0(0nnnxb收敛域内(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)幂级数312.和函数的分析运算性质),0()1(0RRxannn的收敛半径为幂级数,),()(内连续在区间和函数RRxs),0()2(0RRxannn的收敛半径为幂级数,),()(内是可积的在区间和函数RRxs可逐项积分.),(RRx且对则其在端点收敛,则在端点单侧连续.则其幂级数32xxsd)(即00dnxnnxxa101nnnxna(收敛半径不变)xnnnxxa00d)(0nnnxa，内是可导的在区间和函数),()(RRxs)(xs即0)(nnnxa1nnxna(收敛半径不变)0)(nnnxa0x逐项求导任意次.并可则其1n幂级数(3)幂级数的收敛半径为R(R0),33解.1的和函数求幂级数nnnx(1)求收敛区间1limnnnaaR)1(11limnnn时，当1x,11nn级数为发散时，当1x,)1(1