第3章离散时间序列及其Z变换

第3章离散时间信号及其Z变换第1节离散时间信号——序列第2节序列的Z变换及其性质第3节序列的Z反变换2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号一、序列——离散时间信号的定义离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值的信号，简称离散信号，也称离散序列。时间上离散的数据在时域内表示为离散时间信号，其只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样得到的离散时间信号。)(tfRsT每隔时间间隔闭合一次St)(tf012344.504.51234n-1-2-34.343.13.83.52.50.7)(nf)(nf7.0,5.2,5.3,4,5.4,3.4,8.3,1.3)(0nnf2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）1、单位抽样（脉冲）序列)(n0001)(nnnknknkn01)(2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）2、单位阶跃序列)(nu0)()(,0001)(mmnnunnnu也可表示为：knknknu01)(2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）3、矩形序列)(nRN)()()((0101)(NnununRnNnnRNN或）其他R4(n)01231n2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）4、单边指数序列0123n)(nuan-1110a0123n)(nuan-111a0123n)(nuan-111a)()(nuanxn0123n)(nuan-1101a0123n)(nuan-111a-10123n)(nuan-111a-1-142019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）5、斜变序列)()(nunnR2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）6、正弦、余弦序列—数字角频率。—余弦：正弦：000cos)(sin)(nnxnnx0123nn6sin-1-21456789101112-10.50.8710.870.5-0.5-0.5-0.87-0.87-1-0.5-0.872019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）6、正弦、余弦序列周期序列：如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-∞n∞则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。正弦序列的周期性：必须为整数或有理数！条件：正弦序列是周期序列的或即：要满足：0000002222)sin(sinmNmNmNNnn2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）6、正弦、余弦序列。是周期序列（为有理数即：例如：)2,11,2112114sin)(0mNnnx0123nn114sin-1-21456789101112-10.910.76-0.28-0.54-0.990.540.990.28-0.76-0.910.91-0.91-0.762019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）6、正弦、余弦序列不是周期序列。为无理数即：再例如：,10251sin)(0nnx0123nn51sin-1-214567891011120.20.390.560.840.720.930.9910.970.910.81-0.2-0.390.680.520.330.14-0.06-0.2613141516172019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）7、复指数序列202sincos)(000)2(00000或的有效取值区间为：即为周期的周期函数！在频域是以由此可得：复指数序列为正整数）（取整数，则有：由于keennjnenxknjnjnj2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）8、用单位脉冲序列表示任意的序列)(n)(nxkknkxknkxnxnxnxnxnxnx)()()()()2()2()1()1()()0()1()1()2()2()(0n)(nf123-2-112-1-2-3)2()2()1(3)0(1)1(0)2()1()3(2)(nf例如：2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算1、相加两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。)()()(nynxnz序列的累加（求和）：nmmxny)()(。与过去所有时刻值的和的值当前时刻的值是当前时刻表示nnxnny)()(0n)(nf12-11-1230n)(ny12-11233224求和2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算2、相乘两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相乘。)()()(nynxnz序列的数乘：)()(nxany2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算3、移位（延时）)()(mnxnz为负时是左移。右移，为正时是，则的移位序列，若是表示mmnnxnz0)()(2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算4、反褶（转置）)()(nxnz2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算5、尺度变换——压缩和扩展序列的压缩也称为序列的抽取，即将序列中的某些值去除后剩下的序列值按次序重新排列，其结果使序列缩短。)()()(为正整数AAnxnz2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算5、尺度变换——压缩和扩展序列的扩展也称为序列的延伸（补零、内插零值），是在原序列的相邻序号之间插入零值，重新排列使原序列延长。)(0),2,1,0;()()(AknkAknAnxnz2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算6、差分运算差分是指同一个序列中相邻序列号的两个序列值之差，根据所取序列相邻次序的不同分为前向差分和后向差分。)()1()()()1()(nxnxnxnxnxnx后向差分：前向差分：)]([)()]([)(11nxnxnxnxmmmm高阶差分运算是对序列作连续多次的差分运算：)2()1(2)()1()([)]([)(2nxnxnxnxnxnxnx例如：2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算7、卷积运算——图解示例nkknxkxnxnx02121)()()()(01n)(1nf12220n)(2nf132321101k12220k)(2kf1323211)(1kf0k)(2kf23-2-111、置换2、反褶2019年9月4日星期三第3章第1节离散时间信号三、序列的运算7、卷积运算——图解示例01k122133)(1kf)3(2kf21201k1222133)(1kf)4(2kf212401k1222133)(1kf)5(2kf224501k1222133)(1kf)(2knf22n2n1n3、移位4、相乘5、求和01k122213231)(1kf)(2kf-1-201k12221331)(1kf)1(2kf-101k122133)(1kf)2(2kf2n01k1222132312n1n)(1kf)(2knf02n)(ny10721113455101n)(1nf12220n)(2nf1323211y(0)=2y(1)=7y(2)=11y(3)=10y(4)=5y(5)=1*2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换一、Z变换的定义1、由冲激抽样信号的拉普拉斯变换来定义nssnsTssnTtnTfnTttfttftfTtf)()()()()()()()(信号为：的冲激抽样，可得抽样进行间隔为对连续信号-n-nLLssnTsssssenTfnTtnTftfsF)()()()()(，可得：对其进行拉普拉斯变换。因果序列：变换—单边—工程上，变换—双边—的函数为：则可得一个令0,0)(Z)()(Z)()(),()(,0nnxznxzXznxzXznTxnxeznnsSTsn-n2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换一、Z变换的定义2、直接定义—连续的复变量—变换—单边—变换—双边—变换定义为：的序列zznxzXznxzXznxnn0Z)()(Z)()()(n-n例如：)()(nuanxn，a为常数（实数或复数）求X(z)。0)()(nnnnnzaznuazX2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域1、收敛条件和收敛域的定义序列的Z变换是一个幂级数，只有收敛时才有意义。根据级数收敛的条件可得，X(z)收敛的条件是级数绝对可和。|)(|nnznx收敛域的定义：使序列x(n)的Z变换X(z)收敛的复平面上所有Z的集合，可用图形来表示，称为该Z变换的收敛域。记为ROC——RegionofConvergence0]Re[z]Im[zj]Im[zj]Re[z]Re[z]Im[zja0aaabb0aa2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域2、收敛性的判定方法nnnnznxa)(若有正项级数：（1）比值判别法（2）根值判别法Raannn1lim不定发散收敛111RRRRannnlim2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域2、收敛性的判定方法)()(nuanxn例如：已知序列010)()(ZnnnnnazzazX变换为：则其或由Razaannn11limazazzzazXzXaz,111)()(1收敛，且时，可得：Razaznnn11lim2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域3、序列特性对收敛域的影响（1）有限长序列（有始有终序列）在有限区间内，有非零的有限值的序列，则2121)()(nnnznxzXnnnn)(nx]Re[z]Im[zj0有限长序列收敛域：n10，n2≤0时，0≤z＜∞n10，n20时，0z＜∞n1≥0，n20时，0z≤∞2019年9月4日星期三第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域3、序列特性对收敛域的影响（2）右边序列（有始无终序列）右边序列是指序列。时当0)(,),(1nxnnnxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收敛半径]Im[zj1xR]Re[z圆外为收敛域02019年9月4日星期三2xR]Im[zj]Re[z第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域3、序列特性对收敛域的影响（3）左边序列（无始有终序列）左边序列是指序列。时当0)(,),(2nxnnnx22)()(nnznxzXnnn2)()(nnnznxzX或：2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n02019年9月4日星期三]Im[zj]Re[z有环