第3章连续时间信号的变换域分析

1第3章连续时间信号的变换域分析3.1周期信号的频谱分析——傅里叶级数3.2典型周期信号的频谱3.3非周期信号的频谱分析——傅里叶变换3.4典型非周期信号的频谱3.5傅里叶变换的基本性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7拉普拉斯变换3.8拉普拉斯变换的基本性质3.9拉普拉斯逆变换3.10连续信号的频域与复频域的MATLAB分析2第3章傅里叶变换分析从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念，进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的性质及拉普拉斯逆变换。33.1周期信号的频谱分析——傅里叶级数任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。43.1.1三角形式的傅里叶级数0111()(cossin)nnnftaantbnt（1）设周期信号为,其重复周期是T1,角频率11122fT()ft010011()tTtaftdtT直流分量：余弦分量的幅度：010112()costTntaftntdtT正弦分量的幅度：010112()sintTntbftntdtT以上各式中的积分限一般取：或10~T11~22TT53.1.1三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数也可表示成：011()cos()nnnftccnt（2）其中22200arctan()nnnnnnbcabcaa63.1.2指数形式的傅里叶级数1()jntnnftFe（3）000Fac1()2njnnnnFFeajb其中011011()tTjntntFftedtT------复振幅221122nnnnFabcarctan()nnnba为的偶函数，为的奇函数1nnnF1n73.1.3周期信号的频谱及其特点1.周期信号的频谱ntjnneFtf1)(（3）1110)sincos()(nnntnbtnaatf（1）110)cos()(nnntncctf（2）为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出及等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。ncn83.1.3周期信号的频谱及其特点例3-1求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。解：一个周期内的表达式为：()ft111022()22TEtftTEtT10011()0TaftdtT11012()cos0TnaftntdtT110121,3,52()sin02,4,6TnEnbftntdtnTn93.1.3周期信号的频谱及其特点nncb)5,3,1(2)arctan(nabnnn因此11,3,511121()sin211(sinsin3sin5)35nEftntnEtt或11,3,521()cos()2nEftntn6,4,205,3,12nnnE103.1.3周期信号的频谱及其特点(1,3,5)2(1,3,5)2nnn6,4,205,3,12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133()33jtjtjtjtjEjEjEjEfteeee(1,3,5)nEFnn)5,3,1(2)5,3,1(2nnn)5,3,1(nnEFn)5,3,1(2nn6,4,205,3,12nnnEcn02nΩ1Ω13Ω15Ωnc1Ω13Ω15Ω0E232E52EΩnFE3E5E15Ω13Ω1Ω1Ω13Ω15Ω22nΩ15Ω13Ω1Ω1Ω13Ω15Ω123.1.3周期信号的频谱及其特点2.周期信号频谱的特点（1）离散性--------频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱。（2）谐波性--------谱线出现在基波频率的整数倍上。1（3）收敛性--------幅度谱的谱线幅度随着而逐渐衰减到零。n133.1.4波形的对称性与谐波特性的关系（1）偶函数()()ftft1112211011224()cos()cosTTTnaftntdtftntdtTT1121122()sin0TTnbftntdtT所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）和余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa已知信号展为傅里叶级数的时候，如果是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。()ft()ft143.1.4波形的对称性与谐波特性的关系（2）奇函数()()ftft1112211011224()sin()sinTTTnbftntdtftntdtTT所以，在奇函数的傅里叶级数中只包含正弦分量。1120121()0TTaftdtT1121122()cos0TTnaftntdtT153.1.4波形的对称性与谐波特性的关系（3）奇谐函数)(~)2(~1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T163.1.4波形的对称性与谐波特性的关系121010(2,4,6)4()cos(1,3,5)TnnaftntdtnT121010(2,4,6)4()sin(1,3,5)TnnbftntdtnT可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波分量。00a173.1.4波形的对称性与谐波特性的关系在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波分量。（4）偶谐函数1()()2Tftft例3.1-2：'tt21T1T21T)(~tf)(~tf)(~tf为偶谐函数，且去掉直流分量1/2后为奇函数，所以的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。183.1.5吉伯斯（Gibbs）现象)(tft2E2E21T8.95%En=1n=3n=5)5sin513sin31(sin2)(111ttEtfn=3:)3sin31(sin2)(11ttEtfn=5:)5sin513sin31(sin2)(111ttEtfn=1:tEtf1sin2)(193.1.5吉伯斯（Gibbs）现象)(tft2E2E21T8.95%En=1n=3n=5从左图可以看出：①傅里叶级数所取项数越多，相加后的波形越逼近原信号。②当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的幅度。从上图还可以看出如下现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近的不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），该峰值均趋于一个常数，它大约等于跳变值的8.95％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉伯斯现象。()ft203.2典型周期信号的频谱3.2.1周期矩形脉冲信号(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数t)(~tf2221T21T1T1TE12200011122()TEaftdtEdtTTT0nb11221100111442()coscosSa()2TnnnEaftntdtEntdtcTTT213.2.1周期矩形脉冲信号111112()Sa()cos2nnEEftntTT所以，三角形式傅里叶级数为所以，指数形式的傅里叶级数为111()Sa()2jntnnEfteT1111()Sa()222nnnnnEFajbaT因为223.2.1周期矩形脉冲信号（2）频谱图112Sa()2nnEcT11Sa()2nnEFT233.2.1周期矩形脉冲信号若411T则)2(4142211TΩ因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。一般情况：若nT11则第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n–1根谱线。频带宽度：2BΩ或1fB结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。nc1TE12TEΩ241Ω243.2.1周期矩形脉冲信号(3)频谱结构与波形参数之间的关系1.若不变，扩大一倍，即1T8411TTt)(~tf12TE1Tnc4E2EΩ1Ω24t)(~tfE1Tnc4E8EΩ1Ω24253.2.1周期矩形脉冲信号2.若不变，减小一半，即1T8411TTt)(~tf12TE1Tnc4E8EΩ1Ω2t)(~tf12TE1Tnc4E2EΩ1Ω24谱线间隔只与周期有关，且与成反比；零值点频率只与有关，且与成反比；而谱线幅度与和都有关系，且与成反比与成正比。11(2/)T1T1T2/1T1T263.2.2周期锯齿脉冲信号1111()(1)sinnnEftntn周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。273.2.3周期三角脉冲信号2122141()sincos22nEEnftntn周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以的规律收敛。2/1n283.2.4周期半波余弦信号12121()coscos21nEEnftntn2/1n周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波的余弦分量。谐波幅度以的规律收敛。293.2.5周期全波余弦信号11124111()coscos2cos331535EEftttt2/1n周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及的各次谐波分量。谐波的幅度以的规律收敛。1303.3非周期信号的频谱分析——傅里叶变换t)(~tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T1T112TΩ谱线间隔0211TΩ0谱线间隔周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于,1T1112121()0TjntTnFftedtT313.3.1傅里叶变换及傅里叶逆变换频谱密度函数11111212limlim()TjntTnTTFTftedt11Tn当时，离散频率连续频率则11lim()jtnTFTftedt-----------非周期信号f(t)的傅里叶变换---------傅里叶逆变换记为()Fj[f(t)]()jtftedtF)(tf11[()]()2jtFjFjedF323.3.2傅里叶变换的物理意义——频谱和频谱密度函数从上式