第5章离散时间系统的时域分析(1)

第五章离散时间系统的时域分析§5.1离散信号与抽样定理一、离散信号及其表示2、离散时间信号是离散时间变量tk的函数;3、抽样间隔可以是均匀的，也可以非均匀。1、离散时间信号是指只在一系列离散的时刻tk(k=0,1,2,…)时，信号才有确定值，在其它时刻，未定义;()()()ftfkTfk抽样函数f(k)是坐标平面中的一系列点，离散信号的图示通常用离散图来表示。kf(-2)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(k)-2-1012二、连续信号的抽样1、实际抽样kbaf(t)fs(t)抽样器示意图T△ts(t)开关函数f(t)fs(t)t0抽样信号T是抽样周期，fs=1/T表示每秒的抽样数，称为抽样率，抽样过程实际上是开关函数与连续信号相乘的结果，即fs(t)=f(t)s(t)2、理想抽样)(lim)(lim)()()(000tnTttsnTtptsTnn)(lim)()(lim)()()(00tftfttstftfTs()()()Tftfttt…sδ(t)fs(t)f(t)t0抽样间隔怎样确定？要保持原始的连续信号中所包含的全部信息不丢失。间隔越短，点数越密，越精确；但是样本数越多，处理工作量就越大，因此并非越小越好;要保证原有连续信号的全部信息不丢失，只要保证在抽样后离散信号的频谱中仍然包含原有连续信号的频谱结构就可以了。抽样信号的Fourier变换为：-ωm0ωmωF(jω)带限信号的频谱-ωm0ωmΩ-ωmωF(jω)2π/TΩ抽样信号的频谱11()()*()()*()21[()]nFjFjFjTFjnT2T3、抽样定理由上图可知，用一截止频率为的低通滤波器对滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。这就是奈奎斯特取样定理。结论：对于在频谱中不包含大于fm频率分量的限带信号，就可以对信号以不大于1/(2fm)的时间间隔进行抽样，这样的抽样信号通过一个截止频率为fc的理想低通滤波器，只要满足fm=fc=(fs-fm)，就可以将原信号完全恢复。/2()Fj()Fj。/2asffasmfnff4、混叠当抽样率低于奈奎斯特抽样率时，Ω/2到ωm的频谱成分将折叠(Ω/2为折叠轴)并叠加在Ω-ωm到Ω/2的频谱成份上，造成“假频”，这种现象称为混叠。ωFδ(jω)假频抽样频率信号频率ΩωmΩ-ωm2折常称作叠频率。例如：当抽样率为5kHz对3kHz的余弦信号抽样，然后用截止频率为2.5kHz的低通滤波器进行滤波，输出的频谱只包含2kHz的频率，这是原信号中所没有的。0H(jω)ω数字滤波器的伪门对一个低通滤波器的冲激响应进行抽样，抽样后低频通带将在整个频率轴上周期的重复出现，这种现象称为“伪门”。在设计数字滤波器时要适当选择抽样率，使得伪门在干扰频率之外。例1：对于频率为150Hz的正弦时间序列，分别以4ms和8ms采样结果会如何？100HZ25HZ在实际工作中应用抽样定理时，还应考虑下面两个实际问题：1、在理论上讲，按照奈奎斯特抽样率抽样，通过理想低通滤波器以后，就可以恢复原信号。但理想低通滤波器在物理上是不可实现的，实际滤波器都存在一个过渡带，为了保证在滤波器过渡带的频率范围内信号的频谱为零，必须选择高于2fm的抽样率。2、抽样定理只适用于限带信号，但实际信号的频谱往往不满足这一条件，好在大部分信号的有效频带常常是限带的，在高于某一频率以上的频率分量可以忽略不计，从而把它看成是一个限带信号。在这种情况下，即使满足了抽样定理的要求，混叠效应仍然存在，只不过可以忽略而已，为了防止混叠，可以在抽样前让信号先通过一个低通滤波器，以保证高频成分减小到最小限度。三、离散信号恢复成连续信号离散信号：nnnTttfnTttftf)()()()()(理想滤波器的转移函数：202)(0tjkejH理想滤波器的冲激响应：2)()(0ttsTktha滤波器的输出：nananTttsnTfTknTttfttsTktfth2)()()()(*2)()(*)(00离散信号确定连续信号的内插公式。（1）内插函数的特性：在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。)(mTtTSa(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)T12)(mTtsa（1）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。nanTttsnTfTktf2)()()(ˆ0T2T3T)3(TtTSa)(TtTSa)(txa四、离散信号的抽样——重抽样数据处理中为了减少数据量，提高处理速度，可以对离散信号进行抽样。对离散信号的抽样称为重抽样。ωFT(ω)ωF2T(ω)F3T(ω)ωF4T(ω)ω对离散信号实行间隔r抽1的重抽样时，抽样以后的频谱将为：1、对离散信号实行间隔r抽1的重抽样时，首先应检查原始有效信号的频率成分是否能全部包含在之内；2、要检查离散信号的频谱中在的频率范围内是否存在高于的频率成分，如果存在，则需进行数字滤波，保证高于的频率成分为零，以便除去假频。,2(1)2(1)rr,222(1)r(1)0()1rrTTnnFFr2(1)r例2：12.5及75Hz的两个正弦波合成的时间序列（2ms采样），分别以4ms和8ms重采样会如何？12.550HZ12.575HZ例如3：对于信号为2ms采样高频（75Hz）的正弦时间序列，分别以4ms和8ms重采样结果会如何？75HZ50HZ离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，用x(nT）表示在nT时刻的值，为了方便，通常用x(n)表示，n=0,1,2,3…，这样就组成了一个序列﹛x(n)﹜。五、离散时间信号—序列的基本运算五、离散时间信号—序列的基本运算1、移位当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位；x(n+m)表示依次左移m位。-1012x(n)11/21/41/8-2n1/21/41/81x(n+1)n0-1-212、翻褶(折迭)如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴，将x(n)加以翻褶的序列。-1012x(n)11/21/41/8...-2n...-2-10121/81/41/21x(-n)n3、和两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新列。x(n)11/21/41/8n-2-1012y(n)1231/21/4-2-1012n＋＝-2-10121/43/23/29/425/8Z(n).……n4、乘积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。5、累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为即表示n以前的所有x(n)的和。()()nkynxk6、差分前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减）：()(1)()xnxnxn()()(1)xnxnxn7、尺度变换（1）抽取：x(n)x(mn),m为正整数。例如，m=2，x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，m=2，x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用I倍表示，即插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)n121/2-2-1012。。8、卷积和设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。()()()()()()()mmynxmhnmhmxnmxnhn例六.几种常用序列1.单位抽样序列(单位冲激))(n0,00,1)(nnnn1-2-1012nmnmnmn,0,1)(1-2-101mmnn2.单位阶跃序列u（n）0)2()1()()()()1()()()(mnnnmnnunununun...0123-1nu(n)0,00,1)(nnnu3.矩形序列nNnnRN其他,010,1)(10)1()1()()()()()()(NmNNNnnnmnnRNnununR)(nRN4.实指数序列)(nuan发散时收敛时,1,1aaa为实数，当5.复指数序列)sin(cos)()(00)(0njneeeenxenxnnjnjnjo6.正弦型序列其中，ω0为数字频率。0()sin()xnAn注意：正弦型序列不一定是周期序列!§5.2离散时间系统的时域描述一、差分方程离散系统的输入和输出都是离散信号，因此，离散系统需要用差分方程来描述。x(n)离散时间系统T[x(n)]y(n)NkMmmkmnfbknya00)()(1、差分方程的一般形式a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常数。N为阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差。线性差分方程：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂，不含它们的乘积项。2、解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.3、差分方程与微分方程的关系在数学中导数的定义为：0)()()(tttyttydttdy令△t＝T，则00)()1()()()(TTkTtTkykyTkTyTkTydttdy一阶微分方程可以转化为一阶差分方程)()()(tbftaydttdy)()()1()1(kbTfkyaTky二阶微分方程转化为二阶差分方程)()()()(0122tbftyadttdyadttyd)()()1()1()2()2(21201kfbTkyTaTakyTaky因此，从本质上讲，差分方程就是微分方程的一种近似。§5.3离散系统的零输入响应一、零输入响应的含义要研究离散系统在一定的激励时的输出，就是要求出差分方程的解。像在连续系统中求解微分方程时一样，差分方程的解可以分解为零输入响应和零状态响应。完全响应=零输入响应+零状态响应系统的零输入响应就是指激励f(k)=0时系统差分方程的解。先以一阶系统为例，求差分方程y(k+1)-ay(k)=bf(k)在f(k)=0时的解。这时的系统响应，就是对系统初始状态的响应。假定系统的初始状态为y(0)，当f(k)=0时，系统的差分方程为y(k+1)=ay(k)，应用迭代法得y(1)=ay(0)y(2)=ay(1)=a2y(0)y(3)=ay(2)=a3y(0)……………………y(k)=ay(k-1)=aky(0)很明显，当y(0)=0时，y(k)=0，因此初始状态为零时，零输入响应为零。在求微分方程时域解时，曾引入微分算子p=d/dt，对于差分方程，我们引入一个移序算子S，其定义为S[y(k)]=y(k+1)S2[y(k)]=y(k+2)于是一阶差分方程y(k+1)-ay(k)=bf(k)就可写成：S[y(k)]-ay(k)=bf(k)或(S-a)y(k)=bf(k)求零输入响应时f(k)=0，差分方程的算子形式为(S-a)y(k)=0，算子方程S-a=0称为该差分方程的特征方程，S=a就是特征方程的根。差分方程的零输入响应为：y(k)=Cak，C由初始状态确定。和连续时间系统中的情况类似，特征方程的根决定了零输入响应的性质。在连续时间系统的零输入解中，特征方程的根λ是的et幂指数(et)λ。而在离散系统中，特征方程的根a的k次方就是系统的零输入解。同样令特征方程的根为r，r为不同