第6章z变换离散时间系统的z域分析

《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分23秒1第6章z变换、离散时间系统的z域分析6.1引言6.2Z变换的定义及收敛域6.3逆Z变换6.4Z变换的基本性质6.5Z变换与拉普拉斯变换的关系6.6序列的傅氏变换6.7利用Z变换求解差分方程6-8离散系统的系统函数及频率响应《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分23秒2§6-1引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分24秒3二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分24秒4nnznxnxZzX)()]([)(§6-2Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分24秒5二.收敛域我们知道，一个序列的Z变换有无意义，首先要看它是否收敛，而收敛与否的判断又取决于该变换收敛域的具体界定，所以，讨论Z变换，就必然要考虑其收敛域的确切情形。1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒62.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。Mznxnn)(即：要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域,则可以推想,对于不同的序列,就有不同的收敛域。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒7收敛域一般用下式表示：Rx-＜|z|＜Rx+收敛域一般是用一个环状域表示的，这里Rx-和Rx+分别是两个圆的半径，收敛域就是用这两个圆形成的环状域表示的，Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可小到零，Rx+可以大到无穷大。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒8jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0z变换的收敛域《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒9常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想收敛域中肯定没有极点，那么收敛域也肯定是以极点为边界。总结以上所述,Z变换收敛域的特点是：(1)Z(2))()()(zQzPzX《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒100n2n1n(n)...x１.有限长序列nnnnnxnx其他,0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到三.几种序列的z变换及其收敛域《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒11平面”。即所谓“有限，外的开域也就是除所以收敛域，则只要时，同样，当，则只要时，因此，当zzzzzzzznzzzznnnnnnn),0(,00,00,/10]Re[z]Im[zj《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒12)()(nnx021nn1)()]([0ZZnnZnn其收敛域应包括即充满整个Z平面。,,0zz,0z例1求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒13例2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解:||0,11)(1zzzzXNx(n)=RN(n)是一个有限长序列，它的非零值区间是n=0~N-1，根据上面的分析,它的收敛域应是0＜|z|≤∞。112(1)0()()1NnnNNnnXzRnzzzzz《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分25秒1411,0),()(nnnnnxnxx(n)n0n1..1...２.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,为了分析它的Ｚ变换收敛域的特点，将其Ｚ变换分成两部分，一部分是n≥0的部分，另一部分是n0的部分，分析如下：1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒15xR]Re[z]Im[zj收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|∞;第二项为z的负幂次级数，其收敛域为Rx-|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-|z|∞;Rx-为最小收敛半径。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒16３.因果序列它是一种最重要的右边序列,其收敛域为：0,00),()(nnnxnxzRx《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒17nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn当时，这是无穷递缩等比级数。az为解析函数，故收敛。外，为极点，在圆。)(111,111zXazazazzazqaSazq例求序列的Z变换及收敛域。解：《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒18*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。]Re[z]Im[zjza0收敛域：az《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒192210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX４.左边序列22,0),()(nnnnnxnxx(n)0nn2《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒20xRz0故收敛域为xR]Re[z]Im[zjxRz第二项为有限长序列,其收敛域;第一项为z的正幂次级数，其收敛域为为最大收敛半径.xRz00z《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒21[例2-3]求序列变换及收敛域。nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()()1()(121111)1()(nubnxn同样的，当|b||z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。]Re[z]Im[zjb收敛域：bz*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。11()1bzzXzbzzb故其和为《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分26秒22双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX５.双边序列0nx《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒23第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：xRz0xRzxR]Re[z]Im[zjxR当Rx-Rx+时，其收敛域为xxRzR《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒24例：x(n)=a｜ｎ｜，a为实数，求其Z解：这是一个双边序列，它的Z变换求解如下：1010)(nnnnnnnnnnnnnnnzazazazazazX在收敛域中，Z《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒251121)1)(1(-1111)(azaazazaazazazzX该例题要求|a|＜1，此时x(n)=a|n|是一个收敛序列；假设0a1，它的波形和收敛域如图所示。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒26Im[z]Re[z]a1/aO0－2－4－6246na|n|(a)(b)图波形(a)与收敛域(b)《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒27下面进行简要的总结(1)收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界。(2)有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0,∞另外考虑。(3)右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0,∞另外考虑。(4)左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0,∞(5)双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0,∞(6)特殊点的考虑：序列x(n)的n值全部取正整数，收敛域包含z=∞点，例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=∞点；序列x(n)的n值全部取负整数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说,n的取值既有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0,∞两点。《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分27秒28表常见序列的Z变换及其收敛域《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分28秒29§6-3Z逆变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。)]([)(1zXZnx记作：),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正：z变换公式：《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分28秒30]Im[zj]Re[zxRxR逆z变换是一个对进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。0c1()nXzz直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：（１）留数法（２）幂级数法（３）部分分式法《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4日星期三11时54分28秒31二.求Z反变换的方法1.留数法令F(z)=X(z)zn-1，F(z)在围线c内的极点用zk表示，假设有M个极点。根据留数定理下式成立:MkkccnzzFsdzzFjdzzzXjnx11]),([Re)(21)(21)(《信号与系统》第六章z变换、离散时间系统的z域分析2019年9月4