《正弦函数余弦函数的性质-周期性》教学设计

《正弦函数、余弦函数的性质－周期性》教学设计巩义二中黄殿海教学目标：一、知识与技能：1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性。2．会求一些简单三角函数的周期并会利用周期性解决问题。二、过程与方法：从生活实际的周期性现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图象的联系,运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性后,概括抽象出周期函数的定义，通过类比研究余弦函数的周期性。三、情感、态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。教学重点：1.周期函数的定义。2.正弦余弦函数的周期性。教学难点：1.周期函数概念的理解。2.运用定义求函数的周期。教学过程：一、复习回顾，引入新知：1.如何画出正余弦函数在[0,2]上的图象？2.如何画出正余弦函数在R上的图象？3.如何画出余弦函数图象，并思考正弦、余弦函数的图象联系？(关键：形状相同，位置不同)二、讲授新课：1.创设问题，情景引入：（1）观察正、余弦曲线，想一想与之前学习的函数相比最显著的特点是什么？学生根据常识会回答：周期性（2）生活中有哪些周而复始现象？你能说出一些周期性现象吗？【设计意图】激发学习兴趣，让学生感受数学来源于生活又高于生活。如：（演示动画）1昼夜更替、四季轮回、日出日落、宇宙星空运行。2今天周四，14天前周几？98天后周几？3有一首古诗：离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生。(勾起高一学生对小学一年级学习情景的回忆和感慨，进而陶冶学生情操，激发学习积极性）……进一步设问：生活中的周期性现象看来大家非常熟悉，那么数学上的周期性现象我们怎么用数学语言来表述呢？这个问题可不简单，你能吗？2．正弦函数的周期性：下面以正弦曲线为例设计三个动画将从三个角度，让学生直观上感知周期函数本质的特点，从而更准确地归纳出周期函数的定义。（1）演示三个动画：①演示[0，2π]上的图象不断重复②演示R上任意长度为2π的区间上的图象重复③演示任意一个x加减2π后的函数值重复（2）思考：问题1：Rxxy,sin的图象有什么特点？怎么用数学语言来表达这个特点呢？通过这三个动画使学生由直观到抽象，同学们已经对正弦函数的周期性有了更深的理解。正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式xxsin)2sin(中得到反映，即当自变量x的值增加2时，函数值重复出现。如：4sin)24sin(3sin)23sin(……问题2：若记f(x)=sinx,则对x∈R，都有f(x+2)=f(x)，这个式子的含义是什么？说明了对于函数f(x)=sinx，存在一个非零常数2π，使得当x取定义域内每一个值时，都有f(x+2π)=f(x),我们就说f(x)=sinx是周期函数。非零常数2π是正弦函数的周期！3．周期函数的定义（1）问题：既然正弦函数是周期函数，那么周期函数该怎么定义呢？请同学们探讨！周期函数的定义：对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.（2）问题：2π是正弦函数y=sinx是周期，那么2π、4π、6π……-2π、-4π、-6π……是它的周期吗？为什么？结论：2kπ(k∈Z且K≠0)都是它的周期，因为：xkxsin)2sin(。（3）对于周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。结论：正弦函数y=sinx的最小正周期是2π说明：今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期。4．巩周期函数的概念：辩析研讨：判断下列说法是否正确（1）因为4sin)24sin(，所以2是xysin的周期。（）（2）周期函数的周期是唯一的。（）（3）常函数5)(xf是周期函数,存在最小正周期。（）体会成果：（1）错误：周期的定义是对定义域中的每一个X值来说的，只有个别的X值满足()()fxTfx，不能说T是函数的周期。（2）错误：周期函数的周期不唯一，非零整数倍也是周期。（3）错误：常函数是周期函数，但不存在最小正周期。5．余弦函数的周期性：问题：余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(x+T)=cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由。结论：余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且K≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。6．例题：例1：求下列函数的周期：（1）Rxxxf,sin3)(；（2）Rxxxf,2sin)(；（3）Rxxxf),621sin(2)(；（4）RxRAxAxf),,0,0(),sin()(．（师生共析→教师板书→学生观察→总结规律：这些函数的周期与解析式中哪些量有关？）方法：①周期函数定义②由函数图象观察得到周期③特殊到一般的化归思想[设计意图]：教材上讲解例题的方法给人有先知先觉的感觉，直接就套住了定义，但一般学生难以接受，在这里我想通过正弦函数的周期为2π，所以整体加上2π，然后再根据定义进行整理得出符合定义的形式，这样学生就能明白知识的来龙去脉并加强了定义的理解。我是这样讲的：法1：利用周期函数的定义，根据正弦函数的周期为2π所以，有)6221sin(2]2)621sin[(2)621sin(2xxx]6)4(21sin[2x到这里可以看出，)()4(xfxf，故它的周期为4。法2：同时介绍利用图象也可观察出它的周期如图：针对（4）设计探究活动：思考：做了（1）（2）（3）再做（4）你有什么想法？你能不能得出一个求周期的一般结论，这个结论是什么？学生：结合个人思考进行小组讨论探究。老师：巡视指导适当点拨。这个问题分三步来解决：①利用几何画板演示，确认是哪个参数在影响②对这个参数的影响由前三个题观察总结找出规律③运用定义进行严格推理如下：)2sin(]2)sin[()sin(xAxAxA])2(sin[2x若记)sin()(xAxf则有)()2(xfxf，故有结论：形如),0,0(),sin(RAxAy的函数的最小正周期2T，并强调今后主要是利用这个结论来求这种类型函数的周期。例2、求满足不等式21sinx的X的集合。[设计意图]：1、不仅要使学生体会到周期性给研究问题带来的方便,而且要体会到利用周期性来表达问题的简洁性。2、还要让学生学会数形结合的思想方法。三、练习：1、求下列函数的周期：Rxxy),42sin(3)1(Rxxy),6sin()2(Rxxy),331sin(3)3(Rxxy),62cos(2)4([设计意图]：讲（1）（2）（3）时就是告诉学生今后求形如)0,0(),sin(AxAy的函数的周期时可直接套用结论2T。讲（4）时强调求形如)0,0(),cos(AxAy的函数的周期时结论2T同样正确，并让学生思考为什么。2、已知定义在R上的函数)(xf满足)()2(xfxf，且在]1,1[上的解析式为xxf)(，求)25(f的值[设计意图]：主要是让学生理解周期性的符号语言表达并能够利用周期性来求值，同时也让学生见识一下别的形式的周期函数，适当延伸拓展，提高兴趣。解：法1、21)21()221()25(fff（套用周期函数定义）法2、21)21()225()25(fff（理解周期函数定义）四、小结归纳：1、复习回顾了五点作图法及正余弦曲线的联系（形状相同，位置不同）。2、重点掌握周期函数的定义及求周期的方法（定义法，图象法）。3、理解正余弦函数的周期性及并掌握结论：形如)0,0)(sin(AxAy（或)cos(xAy的周期2T。4、探索问题的思想方法——数形结合及由特殊到一般的化归思想。五、作业布置：课本P46T3、7、9六、附板书设计：