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《Econometrics》《计量经济学》攸频[e-mail]南开大学经济学院数量经济研究所第十二章时间序列模型§12.1时间序列定义§12.2时间序列模型的分类§12.3时间序列模型的建立§12.4时间序列模型的识别§12.5时间序列模型的估计§12.6时间序列模型的检验§12.7时间序列模型的预测§12.8案例分析§12.9回归与ARMA组合模型时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。注意序列的平稳性。如果时间序列非平稳，应先通过差分使其平稳后，再建立时间序列模型。估计ARMA模型方法是极大似然法。对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式选择就越准确合理。ARIMA模型的特点让数据自己说话（第3版282页）为什么学习ARIMA模型？（1）研究时间序列本身的变化规律（建立ARIMA模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分，预测）。（2）在回归模型的预测中首先用ARIMA模型解决解释变量的预测。（3）非经典计量经济学是回归与时间序列的结合。（时间序列模型应用越来越广泛）当代计量经济模型体系回归分析单位根检验时间序列回归ARIMA（时间序列）模型SARIMA（季节时间序列）模型GAR（广义自回归）模型、BL（双线性）模型TAR、STAR（门限自回归、平滑转移）模型ARCH、GARCH（自回归条件异方差）模型SV（随机波动）模型ACD、SCD（自回归、随机条件久期）模型研究VAR、VEC（向量自回归、误差修正）模型联立方程模型（结构、简化型、递归模型）PANEL（面板数据）模型、空间计量模型离散选择模型、受限因变量模型单方程（线性、非线性可线性化）回归模型线性时间序列非线性时间序列波动模型截面数据回归时间序列分析向量序列单序列时间序列的加法、乘法模型，X12季节调整蒙特卡罗模拟技术§12.1时间序列定义一、随机过程与时间序列二、平稳性三、非平稳性四、补充：差分算子与滞后算子五、两种基本的随机过程：白噪声和随机游走•随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，用{xt，t∈T}表示，简记为{xt}或xt。•时间序列：随机过程的一次观测结果(一次实现),时间序列中的元素称为观测值。时间序列也用{xt，t∈T}表示，简记为{xt}或xt。假设样本观测值来自无穷随机变量序列那么这个无穷随机序列称为随机过程。12,,nyyy2112,,,,nyyyyy一、随机过程与时间序列（第3版282页）随机过程与时间序列的关系协方差平稳过程（covariancestationaryprocess）如果一个随机过程xt满足以下性质，(1)均值：E(xt)=(常数)(2)方差：var(xt)=2(常数)(3)自协方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一种更为简便的方法是用自相关系数来描述自协方差，即通过自协方差除以方差进行标准化后而得到ρk=rk/r0。）这时称xt是协方差平稳过程，也称宽平稳或弱平稳过程。平稳过程指随机过程的统计规律不随时间的推移而发生变化。直观上，平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。二、平稳性（stationary）单整过程（unitrootprocess）三、非平稳性（non-stationary）~()tyId非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变化。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后，可以转变为平稳的。对于随机过程，如果必须经过d次差分之后才能变换成为一个平稳的过程，而当进行d-1次差分后仍是一个非平稳过程，则称此随机过程具有d阶单整性，记为检验时间序列的平稳性是建模的基础！•差分指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。一阶差分可表示为：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt其中称为一阶差分算子；•滞后算子：用L表示定义一阶滞后算子为：Lxt=xt-1k阶滞后算子定义为：Lnxt=xt-n四、补充：差分算子与滞后算子1.白噪声（whitenoise）过程若随机过程{xt}(tT)满足以下条件则称为白噪声过程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)T,k0五、两种基本的随机过程a.由白噪声过程产生的时间序列b.日元对美元汇率的收益率-3-2-1012320406080100120140160180200whitenoise-4-202450100150200250300DJPY白噪声是平稳的随机过程经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程（第3版283页）2.随机游走（randomwalk）过程对于xt=xt-1+ut，若ut为白噪声过程，称xt为随机游走过程。•随机游走过程的均值为零，方差为无限大。xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=•随机游走过程是非平稳的随机过程。•对随机游走进行一阶差分，可将其转化为平稳过程。xt=xt-xt-1=ut-25-20-15-10-50520406080100120140160180200randomwalk8085909510010511050100150200250300JPYe.由随机游走过程产生时间序列f.日元对美元汇率（第3版291页）§12.2时间序列模型的分类一、自回归过程AR(p)二、移动平均过程MA(q)三、自回归移动平均过程ARMA(p,q）四、单整自回归移动平均过程ARIMA(p,d,q)一、自回归过程AR(p)1.p阶自回归过程AR(p)xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut其中：i,i=1,…p是自回归参数，ut是白噪声过程。xt是由它的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。上式用滞后算子表示为：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=L)xt=utL)=1-1L-2L2-…-pLp称为特征多项式或自回归算子平稳性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1–Gpz)=0的所有根的绝对值都大于1，则AR(p)是一个平稳的随机过程。自回归过程的变量xt，仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。之所以称之为特征方程，是因为它的根决定了过程xt的特征。（第3版284页）12.2时间序列模型的分类对于自回归过程AR(p)，如果特征方程L)=0的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳的过程。为什么？AR(p)过程的特征多项式可以分解为(L)=1-1L-2L2-…-pLp=(1-G1L)(1-G2L)...(1-GpL)其中G1-1,G2-1,...,Gp-1是特征方程(L)=0的根。由AR(p)过程L)xt=ut，xt可表达为xt=(L)-1ut=(LGkLGk-1-12211+…+)-1LGkpput其中k1,k2,…,kp是待定常数。xt具有平稳性的条件是(L)-1必须收敛，即应有|Gi|1,i=1,2,…,p。而Gi-1,i=1,2,…,p是特征方程(L)=0的根，所以保证AR(p)过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为1）之外，即|1/Gi|1。（第3版284页）2.AR(1)过程分析xt=1xt-1+ut•平稳性的条件是特征方程(1-1L)=0根的绝对值必须大于1，满足|1/1|1，也就是|1|1xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短记忆过程）因为ut是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12u2+14u2+…=上式说明若保证xt平稳，必须保证|1|1。-4-202420406080100120140160180200AR(1)22111u中国旅游人数差分序列（第3版284页）在Equationspecification对话框输入：D(Y)CAR(1)（第3版286页）例12.1有AR(1)过程xt=0.6xt-1+ut，现改写为(1-0.6L)xt=utxt=L6.011ut=(1+0.6L+0.36L2+0.216L3+…)ut=ut+0.6ut-1+0.36ut-2+0.216ut-3+…平稳的AR(1)过程变换成为无限阶的移动平均过程。例12.2有AR(2)模型xt=0.6xt-1-0.1xt-2+ut，即(1-0.6L+0.1L2)xt=ut。其特征方程是(1-0.6L+0.1L2)=0[1-(0.3-0.1i)L][1-(0.3+0.1i)L]=0特征方程的两个根是，L1=1/(0.3-0.1i)=3+iL2=1/(0.3+0.1i)=3-i因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。习题1为了验证这一性质，首先将yt-1用滞后算子表示Lytyt=Lyt+utyt-Lyt=ut（1-L）yt=ut特征方程为：1-z=0其中有根z=1落在单位圆上，而不是单位圆之外。该过程是非平稳的，它是随机游走过程。•下面的模型是平稳的吗？yt=yt-1+utxt=1xt-1+2xt-2+ut•平稳性的条件是特征方程1-1L-2L2=0的两个根在单位圆外：3.AR(2)过程分析211224122+112-11|2|1解得：（第3版286页）例12.1有AR(1)过程xt=0.6xt-1+ut，现改写为(1-0.6L)xt=utxt=L6.011ut=(1+0.6L+0.36L2+0.216L3+…)ut=ut+0.6ut-1+0.36ut-2+0.216ut-3+…平稳的AR(1)过程变换成为无限阶的移动平均过程。例12.2有AR(2)模型xt=0.6xt-1-0.1xt-2+ut，即(1-0.6L+0.1L2)xt=ut。其特征方程是(1-0.6L+0.1L2)=0[1-(0.3-0.1i)L][1-(0.3+0.1i)L]=0特征方程的两个根是，L1=1/(0.3-0.1i)=3+iL2=1/(0.3+0.1i)=3-i因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。4.AR(p)的平稳性条件(1)AR(p)平稳性的必要条件是(p个自回归系数之和小于1)：1+2++p1(2)AR(p)平稳性的充分条件是特征方程的根在单位圆之外。判断根的可能情况-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5ARrootsInverseRootsofAR/MAPolynomial(s)1.q阶移动平均过程MA(q)xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中：1,2,…,q是回归参数，ut为白噪声过程。xt是由q+1个ut和ut滞后项的加权和构造而成。“移动”是指随着时间t而变化，“平均”是指加权和之意。任何一个MA(q)都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。二、移动平均模型MA(q)对于一个移动平均模型，yt仅仅是白噪声过程的线性组合，所以依赖于当期和先前时期的白噪声扰动项的值。（第3版286页）与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程，L)=(1+1L+2L2+…+qLq)=0的全部根的绝对值必须都大于1。由MA(q)过程，有L)-1xt=ut。由于L)可表示为L)=(1-H1L)(1-H2L)…(1-HqL),所以L)-1=（