第2章信号与系统连续时间LTI系统的时域分析

信号与系统§2.1引言信号与系统系统数学模型的时域表示时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章我们主要讨论输入、输出描述法。输入输出描述：一元N阶微分方程状态变量描述：N元一阶微分方程信号与系统系统分析过程经典法：前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法：任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束解方程：经典法双零法零输入：可利用经典法求零状态：利用卷积积分法求解变换域法：主要是拉普拉斯变换信号与系统§2.2微分方程的建立信号与系统微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。信号与系统电感电阻1()()RitvtR1()()dtLitvL电容d()()dCvtitCt根据KCLS()()()()RLCitititit代入上面元件伏安关系，并化简有2S2d()d()1d()1()ddditvtvtCvttRtLt这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。例：求并联电路的端电压与激励间的关系。()vt()sitCR()sitL()vtRiCiLi解：微分方程的列写信号与系统微分方程的列写用p表示微分算子，即有1/p表示积分算子，即有nnndtdpdtdpdtdp,,,222dpt1算子法列写电路的微分方程1uRiupLiuipC1uiRiupLipCu由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：dd1dtuRiiuLtuitC信号与系统用消元法求得。例：列写与的微分方程。()vt1()LitC1R2R()sitL()Lit1()ut2111111(1)LCSLLpRiuuuRCpuiiR211212121212()1/1/()1/SLSRLpRRpuiLpRRpCRpCiiLpRRpC解：微分方程的列写信号与系统即得1222121112211()()11()()SLSRRRRppuRppiLLCLRRRpppiiLLCLLC写成微分方程形式为221121121122dddd1ddddSSiiuRRuRRuRtLtLCtLt21212ddd11dddSLLLSiiRRiRiitLtLCLtLC微分方程的列写信号与系统微分方程的一般形式或者一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。)()()()()()(011-m1m011-n1ntxbtxdtdbtxdtdbtyatydtdatydtdammmmnnnnmkkknkkkdttxdbdttyda0k0k)()(信号与系统§2.3微分方程经典求解法信号与系统§2.4起始点的跳变信号与系统§2.5零输入响应和零状态响应信号与系统也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：暂态响应：稳态响应：强迫响应：零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义信号与系统§2.7卷积信号与系统卷积在工程和数学上的应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。信号与系统h(t)√e(t)√r(t)?h(t)?e(t)√r(t)√h(t)√e(t)?r(t)√1．定义与物理意义①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔②卷积与反卷积互逆i)卷积ii)反卷积1：系统辨识iii)反卷积2：信号检测卷积定义信号与系统③定义：12()()ftft12()()()dftfft1212()()()()()()ftftftftftft或设有两个函数,积分12()()ftft称为的卷积积分，简称卷积，记为卷积定义信号与系统利用卷积求系统的零状态响应()()()dftft()()rtHft()()dHft()()dfHt()()dfht这就是系统的零状态响应。zs()()()rtftht若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：任意信号可表示为冲激序列之和()ft信号与系统卷积的计算可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确12()()()dftfft11()()ftf2222()()()()ftffft倒置12()()fft12().()dfft积分变量改为时延3.相乘4.乘积的积分2.1.对τ延时t，－(τ-t)=t-τ积分结果为t的函数1、借助于阶跃函数u(t)确定积分限2、利用图解说明确定积分限其中，积分限的确定是非常关键。信号与系统翟懿奎信号与系统Ottf1111Ottf2323O2f23Otf223O1f1113tt)]3()([2)(),()(221tututtftGtf例：3t0tt卷积图解过程信号与系统O2311下限上限t-3t-0)(2tft：移动的距离)(1f-11,未移动)(2tf的坐标是浮动的。3tttf2当从到变化时，对应的从左向右移动。t)(2tfO23113tttf20t2()f0t22()()fft右移,0t22()()fft左移,卷积图解过程信号与系统O1f111t-13tttf2两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为00)()(21tff0)()()(21tftftf1t卷积图解过程信号与系统-1t1O1f1113tttf2d)()()(211tfftft向右移)(2tf时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t。11t41242ttd211tt2124tt卷积图解过程信号与系统1t23tttf2即1t2tttfd21)(11O1f111113tt卷积图解过程信号与系统2t43tttf2即2t4224d)(21)(213ttttftO1f1111313tt卷积图解过程信号与系统3tttf2O1f111即：31tt4两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为00)()(21tff0)()()(21tftftf信号与系统卷积结果Ottf1111Ottf2323)(tftO242112211142412()224420tttttftttt其它卷积图解过程信号与系统一般规律：(２)各段上积分上下限的确定:上限取小,下限取大卷积结果所占的时宽＝两卷积函数所占的时宽之和(１)积分限由的范围决定。0)()(21tff积分上下限和卷积结果区间的确定一、积分上下限确定二、卷积结果区间的确定tf1tf2[A,B][C,D][A+C,B+D]12()*()gtftft-1tf2tg1tf1034+1信号与系统11()()(1)()()(2)22etututhttutut()zsrt例：求：()ettt1201021()ht1卷积图解过程信号与系统解：图解法()e12()h010211i)t021()hii)()()hh02t1()httiii)()()hht卷积图解过程信号与系统()e121iv)相乘；v)求积分当时1/2t()0zsrt当时1/21t21211()24416tzsttrttd()ht2tt()ht2tt()ht2tt()ht2tt()ht2tt当时13/2t112133()2416zstrttd当时3/23t21213()2424zstttrttd当时3t()0zsrt卷积图解过程信号与系统221021114416233314162333424203tttttttttt()zsrt卷积图解过程信号与系统由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也可借助于阶跃函数u(t)确定积分限。信号与系统常见函数的卷积常见函数的卷积：（P57表2-3）()()()()()()()()()1()()-(),atatatatbtatbttxtxtututtuteuteutteuteuteuteeutabba利用常见函数的卷积公式与卷积的性质相结合，可以方便地求较复杂信号的卷积运算。信号与系统§2.8卷积的性质信号与系统一．代数性质1．交换律2．分配律3．结合律系统并联运算系统级联运算1221()()()()ftftftft1231213()[()()]()()()()ftftftftftftft1212()()()()[()()]ftftftftftft信号与系统系统并联12()()()hththt1231213()[()()]()()()()ftftftftftftft系统并联，框图表示：()yt()ft()ht()yt()ft()ft()ft()ht1()ht2()ht)()(1thtf)()(2thtf12()()()()()()fthtfthtftht结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。信号与系统系统级联1212()()()()[()()]fththtfththt()()ftht12()()()hththt系统级联，框图表示：()ft1()ht2()ht()yt1()()ftht12()()()fththt()yt()ft()ht结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。信号与系统二．时移性质设则()()()()()ytxththtxt