第一章离散时间信号与系统

离散时间信号与系统DiscreteTimeSignalsandSystems本章主要内容Topics离散时间信号采样离散信号的傅氏变换与Z变换离散时间系统系统的频率响应与系统函数1.1离散时间信号(1)单位脉冲序列0,00,1)(nnn单位脉冲序列function[f,k]=impseq(k0,k1,k2);k=[k1:k2];f=[(k-k0)==0];stem(k,f);Impseq(0,-5,5)(2)单位阶跃序列0,00,1)(nnnu单位阶跃序列function[f,k]=stepseq(k0,k1,k2);k=[k1:k2];f=[(k-k0)=0];stem(k,f);stepseq(0,-5,5)(3)矩形序列NnnNnnRN,0,010,1)(1……N-1n(4)实指数序列)()(nuanxnfunction[f,k]=expseq(a);k=0:10;f=a.^k;stem(k,f);指数序列expseq(0.9）(5)正弦序列x(n)=sin（nω0）function[f,k]=sinseq(a);k=0:39;f=sin(a.*k);stem(k,f);正弦序列sinseq(pi/6);(6)复指数序列0()00()(cossin)jnnxnAeAenjn当0时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。x(n)=(0.65+j0.5)nu(n).序列的运算1、序列的相加z(n)=x(n)+y(n)2、序列的相乘f(n)=x(n)y(n)3、序列的移位y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(绝对可和序列xBnx)(有界序列序列的运算序列的运算序列的运算序列的运算5、实序列的偶部和奇部)()()(nxnxnxoe)]()([21)(nxnxnxe)]()([21)(nxnxnxo6、序列的单位脉冲序列表示)()()(mnmxnxm1.2采样对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件1.采样过程采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。连续时间信号的采样采样器P(t)TT为采样周期，fs为采样频率如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tptxtxap采样过程2.理想采样开关闭合时间τ→0时，为理想采样。特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，用M(t)表示nnTttM)()(则有)()()(ˆtMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()(…1.6…1.7…1.8理想采样实际情况下，τ＝0达不到，但τT时，实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。3、采样信号的频谱dtetxtxFjXtjaaa)()()(dejXjXFtxtjaaa)(21)()(1)(ˆ)(txjXaa)()(jXjXaa与mmtjmmseanTttM)()(ssfT22dtetMTaTTtjmms22)(1TdtetTdtenTtTTTtjmTTntjmss1)(1)(12222所以mtjmseTtM1)()()()(ˆ)(ˆtMtxFtxFjXaaaMtmjatjmtjmatjadtetxTdteetxTdtetMtxss)()(1)(1)()(msaajmjXTjX)(1)(ˆ所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。因此有，…1.93）归一化数字角频率ω=ΩT=Ω/fsωs=ΩsT=2Ω通常称作数字角频率，它是模拟域频率对采样频率fs的归一化…1.10…1.11Ω与Ωs的关系?图1.3图1.4202)()(ˆssaajXjX如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现象（图1.4）,为简明起见,图中将xa(j)作为标量处理,一般xa(j)为复数,交叠也是复数相加。当出现频谱混淆后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。…1.12奈奎斯特Nyquist采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。Ωs≥2Ωmax实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率max更大些，如Ωs(3~5)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。表一些典型的数字信号处理系统应用系统上限频率maxf采样频率sf地质勘探500Hz1-2kHz生物医学1kHz２-４kHz机械振动２kHz4-10kHz语音４kHz8-16kHz音乐２０kHz40-96kHz视频４MHz8-10MHz3-5倍4．采样的恢复（恢复模拟信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有202)()(ˆssaajXjXmsaajmjXTjX)(1)(ˆ)(1)(ˆjXTjXaa││S/2将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图)(ˆtxa202)(ssTjGG(j)g(t)G(j)Txa(t)y(t)=xa(t)0S/2采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：)()(ˆjGjXjYa)(ˆjXa)(jXjYa由于在|Ω|Ωs/2时)(1)(ˆjXTjXaa)()()(1jXjGjXTjYaa…1.13…1.14…1.15也就是说，在时域中低通滤波器的输出为：y(t)=xa(t))()()()()()()]()([)()(ˆ)(nTtgnTxdnTtgxdtgnTtxtgtxtynananaa讨论采样信号通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。)(ˆtxa频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为…1.16理想低通G（j）的冲激响应为deTdejGtgsstjtj222)(21)(tTtTttsssin22sin)]([)(1jGFtgnaanTtTnTtTntxx因此)()](sin[)(…1.17…1.18这里，g(t-nT)称为内插函数)()(sin)(nTtTnTtTnTtg特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如图1.7所示。在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。1.3离散时间信号的DTFT与z变换一、离散信号的DTFT变换离散信号（数字序列）的DTFT定义数字序列的IDTFT变换定义nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(…1.19…1.20DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。另外,平方可和序列的DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件。值得指出：（1）由于，所以是以2π为周期的周期函数。（2）DTFT)2(jjee)(jeXnjnjenxeX)()(正是周期函数的傅氏级数展开，而x(n)是傅氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。DTFT的一些主要性质见表1.2。)(jeX序列DTFT①ax(n)+by(n)aX(ejω)+bY(ejω)②x*(n)X*(e-jω)③x*(-n)X*(ejω)④x(n-n0)e-jnoωX(ejω)线性共轭对称移位⑤ejωox(n)X(ej(ω-ωo))⑥Re[x(n)]Xe(ejω)⑦jIm[x(n)]Xo(ejω)⑧x(n)X(ejω)=X*(e-jω)Re[X(ejω)]=Re[X(e-jω)]Im[X(ejω)]=-Im[X(e-jω)]Arg[X(ejω)]=-arg[Xe(e-jω)]⑨xe(n)Re[X(ejω)]⑩xo(n)jIm[X(ejω)]二、z变换定义利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列x（n）的Z变换定义为其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面。nnznxzX)()(…1.21常用Z[x(n)]表示对序列x(n)的z变换，即nnznxnxZ)()]([这种变换也称为双边z变换，与此相应还有单边z变换，单边z变换只是对单边序列（n=0部分）进行变换的z变换，其定义为单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。0)()(nnznxzX三、z变换的收敛域一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足因为对于实数序列，nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()(因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为Rx-〈|z|〈Rx+这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。…1.22z变换的收敛域jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0例1.求x1(n)=anu(n)和x2(n)=-anu(-n-1)的z变换解：azazzazXazazzazXnnnnnn