第三章 平稳时间序列分析

第三章平稳时间序列分析2本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测33.1方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程4差分运算一阶差分阶差分步差分pk1tttxxx111tptptpxxxktttkxxxgradient5延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有1,pxBxtppt6延迟算子的性质)!(!!,)1()1()(,)()(101110ininCBCBxxByxyxBcxcxBcxcBBininiininnttnttttttt其中为任意常数7用延迟算子表示差分运算阶差分步差分pkitpiipitptpxCxBx0)1()1(tkktttkxBxxx)1(8线性差分方程线性差分方程齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz9齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合02211ppppaaap,,,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(10齐次线性差分方程的解我们用迭代法求解差分方程的过程来揭示前面给出的齐次线性差分方程通解的实质。考虑一阶差分方程相应的通过特征方程求解为可见，两种方法求得的解的形式是一致的。022101)()(0zazaazzzazztttttt代法求解得给定的情况下，通过迭在tttacczaa)(0的解为根据公式一阶差分方程特征根为：特征方程：11齐次线性差分方程的解考虑二阶差分方程02211tttzazaz的特征方程式得到了二阶差分方程可见，我们通过这种方后，有在消去非零共因子02122aact02211ttttttcacacczc差分方程，有的解，将该试探解代入因此我们先试探形式为用非常重要在差分方程的通解中作表明，解一阶差分方程的经验24221121aaa，方程的解们就可以得到二阶差分通过计算其特征根，我12齐次线性差分方程的解tttcczaa221122121,04,.1通解为为不同的实根时，当ttttccztc)(,21212为为相同的实根时，通解因此通解中的另一项可以作为二阶差分方程可见项线性无关而另一项则要求与这一则通解中的一项应该为为相同的实根时，当,2)(,04,.2112122121tcaaa)2()1()2()1(,,21222222121222112tatatctcatcatczazaztczttttttttt有分方程的左边将该试探解代入二阶差的解式为我们可以进一步试探形0)214)(4()2(2224)2()2()2)(1()2()2()2()1(,22212122221212121221121212212221taaacataatataactaataatactatatcatttt代入上式得已知13齐次线性差分方程的解212122212212121221211221212arccos2arccos242242,24204,.3aaaaaaaarreiaaareiaaaaaii其中为复根时，当ititttititttececrrecrecccz21212211为则二阶差分方程的通解14非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzztz)(2211thzazazazptpttt153.2ARMA模型的性质AR模型（AutoregressiveModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoregressiveMovingAveragemodel）16AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为**注意最后一项条件是st特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR17AR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令p101ttxy}{ty}{tx18自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式**注意这里连接各项的是减号)(pARttxB)(ppBBBB2211)(19AR模型平稳性判别判别原因要拟合一个平稳序列，所采用的拟合模型也应该是平稳的。AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的判别方法特征根判别法平稳域判别法20AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别平稳域特征根都在单位圆内p,,,2121AR模型平稳性—特征根判别)7.3()B()(AR2211tptptttttxxxxxp分方程：视为一个非齐次线性差都可以模型任意一个中心化的一个特解。为方程的通解，为齐次线性差分方程式中，的通解为：方程)7.3(0)B()7.3(ttttttxxxxxx22AR模型平稳性—特征根判别个特征根。的对应的特征方程是差分方程，，，假定pxxxxpptpttt002-p21-p1·p2211p21。的通解求齐次线性差分方程ttxx0)B()1(对共轭复根为，，，个互不相等的实根为，，，个相等实根为个特征根取值如下：设这为了有代表性，不妨假mmjerermdpdpjjijjijjdd)1(2212m-p21d2123AR模型平稳性—特征根判别为任意实数。，，，，，，，其中，的通解为：那么齐次线性差分方程)1()sincos(sincossincos)(0)B(212m-p21121211112121111212111mjccccctictcrctctitctitcrctcececrctcxxjjmjjjjjtjtjmpdjjdjtjjjmjjjjjjjtjtjmpdjjdjtjjjmjitjitjtjtjmpdjjdjtjjjttjj书中46页和47页第一项有误24AR模型平稳性—特征根判别01)(221ppuuuuu系数多项式方程表示为的形式表示，则自回归替换成变量的延迟算子我们将自回归多项式中首先，为了理解方便，tttxxB的一个特解求非齐次线性差分方程)()2(的根是特征根的倒数。方程，即自回归系数多项式都使，，个特征根的则特征方程0)(0)1(0212211upppppppppppppu221122111111)1(1，有令25AR模型平稳性—特征根判别piiBBB1)1()()(可以因子分解为根据这个性质，为常数。，，，其中，的一个特解为：性差分方程由此可以得到非齐次线)21(1)1()()(11pikBkBBxxBitpiiipiittttt26AR模型平稳性—特征根判别0lim)1()(1)sincos()7.3()2)(1()3(212m-p2111212111ttjjtpiiimjjjjjtjtjmpdjjdjtjjjttttxmjcccccpARBktictcrctcxxxx，，，，，，，即要求对任意实数模型平稳，要使得中心化为的通解差分方程步的分析，非齐次线性根据得出特征根判别条件27AR模型平稳性—特征根判别的根都在单位圆外。即系数多项式的根，相应的该模型的自回归，个特征根都在单位圆内它的模型平稳的充要条件是因此0)()(uppAR。个特征根都在单位圆内模型的求这两个条件实际就是要ppAR)(mirmpiii，，，，，，，，上式成立的充要条件是211221128AR(1)模型平稳条件，求得特征根为：其特征方程为：模型：0)1(1tttxxAR1)1(：模型平稳的充要条件是条件模型平稳的特征根判别根据ARAR11)1(1模型的平稳域是：因此，这也就等价于要求由于AR29AR(2)模型平稳条件24,240)2(22112221112122211求得特征根为：其特征方程为：模型：ttttxxxAR11)2(21且：模型平稳的充要条件是条件模型平稳的特征根判别根据ARAR30AR(2)模型平稳条件221121根据1)1212可以导出1111)2212121121111)32121211231AR(2)模型平稳条件特征根平稳域24242211222111}11,{12221，且32例3.1考察如下四个模型的平稳性ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(1.1)2(8.0)1(33例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx34例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxxttttxxx115.0)4(35例3.1平稳性判别8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳36例3.1平稳性判别—以(4)为例模型非平稳因此判断该的特征根判别条件不满足由于特征根为：特征方程为：一、特征根判别)2()2,1(11231231,23105.05.0121221ARixxxitttt37例3.1平稳性判别—以(4)为例模型非平稳因此判断该的条件中不满足平稳域判别条件二、平稳域判别)2(115.115.015.015.01.5