第三章平稳时间序列分析

tPptttttxBxxBxBxx221第3章平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。3.1方法性工具3.1.1差分运算一、p阶差分记tx为tx的1阶差分：1tttxxx记tx2为tx的2阶差分：21122ttttttxxxxxx以此类推：记tpx为tx的p阶差分：111tptptpxxx二、k步差分记tkx为tx的k步差分：ktttkxxx3.1.2延迟算子一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10B2.若c为任一常数，有1)()(tttxcxBcxcB3.对任意俩个序列{tx}和{ty}，有11)(ttttyxyxB4.nttnxxB5.)!(!!,)1()1(0ininCBCBiniinniin其中二、用延迟算子表示差分运算1、p阶差分tptpxBx)1(2、k步差分tkktttkxBxxx)1(3.2ARMA模型的性质3.2.1AR模型定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):tsExtsEVarExxxxtststtptptpttt,0,0)(,)(,0)(,0222110(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0p。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。条件二：tsEVarEtstt,0)(,)(,0)(2。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列}{t为零均值白噪声序列。条件三：tsExts,0。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。通常把AR(p)模型简记为：tptptttxxxx22110(3.5)当00时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。令ttpxy,1210则{ty}为{tx}的中心化序列。AR(p)模型又可以记为：ttxB)(，其中ppBBBB2211)(称为p阶自回归系数多项式二、AR模型平稳性判断P45【例3.1】考察如下四个AR模型的平稳性：tttxx18.0)1(tttxx11.1)2(ttttxxx215.0)3(ttttxxx215.0)4(拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型ttxB)(都可以视为一个非齐次线性差分方程。tptptttxxxx22110则其齐次线性方程0)(txB的特征方程为：02211ppppxxx设p,,,21为齐次线性方程0)1()(221tpptxBBBxB的p个特征根。所以AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根p,,,21都在单位圆内。同时等价于：AR模型的自回归系数多项式的根，即0)(u的根，都在单位圆外。证明：设p,,,21为齐次线性方程0)(txB的p个特征根，任取)2,1(,pii，带入特征方程：02211ppipipi把iiu1带入0)(B中，有0][11111)(2211221ppipipipipipiiiu根据这个性质，)(B可以因子分解成：piiBB1)1()(，于是可以得到非其次线性方程ttxB)(的一个特解：tpiiipiitttBkBBx111)1()(2、平稳域判别使得特征方程022110ptptttxxxx的所有特征根都在单位圆内的系数集合}|,,,{21特征根都在单位圆内p被称为AR(p)模型的平稳域。(1)AR(1)模型的平稳域AR(1)模型为：tttxx1，其特征方程为：0，特征根为：。则AR（1）模型平稳的充要条件是1,则AR(1)模型的平稳域是}11{(2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：ttttxxx2211。其特征方程为：0212，特征根为：24,242211222111。则AR（2）模型平稳的充要条件是：1121且，从而有：{12122111,21，且因此可以导出：1)1)(1(1)31)1)(1(1)21)12121211221212121212所以AR(2)模型的平稳域：}1,1|,{21221且【例3.1续】分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR模型的平稳性：tttxx18.0)1(tttxx11.1)2(ttttxxx215.0)3(ttttxxx215.0)4(其中),0(~}{2WNt模型特征根判别平稳域判别结论1)8.018.0平稳三、平稳AR模型的统计性质1、均值假如AR(p)满足了平稳性条件，于是)(22110tptptttxxxEEx(3.12)由平稳序列均值为常数的性质得：)(TtExt，因为),0(~}{2WNt，所以(3.12)等价于)1(21pp2101特别对于中心化AR(p)模型有0tEx。2、方差(1)Green函数。设p,,,21为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：001101ˆ)(1)(jjtjjpijtjiipijtjiitpiiittGkBkBkBx(3.13)其中pijiijjkG1),2,1(，系数），2,1(jGj称为Green函数。记jpijBG1G(B)，则(3.13)简记为：tG(B)tx(3.14)再将(3.14)带入AR(p)模型ttxB)(中，得到tBtG(B))(Green函数的递推公式为：,2,1,110jGGGjkkjkj其中{,,0kpkpkk(2)平稳AR模型的方差。对平稳AR模型tG(B)tx两边就方差，有2)1.111.1非平稳3)21,2121ii5.1,5.0,5.012212平稳4)231,23121非平稳5.0,5.1,5.0122120220200)()()()(jjtjjjjtjjtjjtGVarGGVarBGVarxVar由于02jjG，这说明平稳序列}{tx方差有界，等于常数022jjG【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。AR(1)模型：010111)()1()1(jjtjtjjttttBBxxBGreen函数为：),1,0(,1jGjj，所以平稳AR(1)模型的方差为：2120221021)()(jjtjjtVarGxVar3、协方差函数在平稳模型tptptttxxxx22110等号两边同时乘)1(kxkt，再求期望，得)()()()()(2211kttktptpkttkttkttxExxExxExxExxE又由1,0)(kxEktt，)(kttkxxE，可以得到自协方差函数的递推公式：pkpkkk2211(3.17)【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：0111kkk又由【例3.2】知，21201，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：1,12121kkk【例3.4】求平稳AR(2)模型的自协方差函数。求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：1,2211kkkk，特别地，当k=1时，有12011，即01011利用Green函数可以推出AR(2)模型的协方差：22121220)1)(1)(1(1所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为：2,1)1)(1)(1(12211010122121220kkkk4、自相关系数(1)平稳AR模型自相关系数的推导公式。由于0kk，式(3.17)两边同时除以0，可以得到自相关系数的推导公式：pkpkkk2211平稳AR(1)模型的自相关系数推导公式：0,1kkk平稳AR(2)模型的自相关系数推导公式：k2,11221121kkkk(2)自相关系数的性质。平稳AR模型自相关系数有连个显著的特性：一、拖尾性二、呈负指数衰减5、偏自相关系数(1)偏自相关系数的定义。定义3.3对于平稳序列}{tx，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量121,,,ktttxxx条件下，或者在剔除中间k-1个随机变量121,,,ktttxxx的干扰后，txxkt对的影响的相关度量。])ˆ[()]ˆ)(ˆ[(2,,,|,1211ktktktktttxxxxxkkxExExExxExEkttttt(2)偏自相关系数的计算。对于平稳序列}{tx，用过去的k期序列值121,,,ktttxxx对tx作k阶自回归拟合，即tktkktktktxxxx2211(3.12)式中，)(0,0)(tsxEEstt。在式(3.12)两边同时乘ktx，并求期望，得1,2211lklkklklkl，取前k个方程构成的方程组：02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk该方程组成为Yule—Walker方程。用矩阵表达111212111kkkk•kkkk21k21(3.27)则DDkkk，其中kkkkkkkkDD21211121211111,111D为式(3.27)的行列式，kD为把D中第k个列向量换成(3.27)等号右边的自相关系数响亮后构成的行列式。(3)偏自相关系数的截尾性。平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p步截尾性。指pkkk,0，只要当kp时，0kD。AR(1)模型的偏自相关系数为：kk2,01,1kkAR(2)模型的偏自相关系数为：kk2,02,1221kk3.2.2MA模型一、定义定义3.4具有如下结构的模型称为q阶移动平均(movingaverage)模型，简记为MA(q):tsEVarExstttqqtqttt