第三章平稳时间序列分析1s

非平稳时间序列(1)()非平稳时间序列(2)()101214161820%25%30%35%第三章0246850-6070-8090-1000%5%10%15%`第三章平稳时间序列分析平稳时间序列分析时间序列的模型类型很多我们这里只时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳其特性是序列的统计特性不指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。时间序列模型与常系数线性差分时间序列模型与常系数线性差分方程的关系1、常见的时间序列模型本身就是常系数线性差分方程。2某些时间序列模型的自协方差函数和2、某些时间序列模型的自协方差函数和自相关函数满足一个线性差分方程。3、利用差分方程的特征根判别模型的平稳性和可逆性。稳性和可逆性。本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.序列预测4.3.1方法性工具本节结构差分运算延迟算子延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分1tttxxx1ttt阶差分p111tptptpxxx1ttt步差分kktttkxxx步差分ktttk延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻前序列值的时间向过去拨了个时刻记B为延迟算子，有1ttxBx22ttxBx,1ptptxBxp,tptp延迟算子的性质10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(1为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxB(1)(1)nniiiBCB)!(!!ininCin0(1)(1)niBCB)(用延迟算子表示差分运算阶差分p(1)(1)pppiittptixBxCx0i步差分kktkkttkxBxx)1(线性差分方程线性差分方程线性差分方程)(2211thzazazaztttt)(2211thzazazazptpttt齐次线性差分方程02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解特征方程02211ppppaaa特征方程的根称为特征根，记作p,,,21齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合tpptttcccz2211有相等实根场合tttdcctctccz1)(d21复根场合ppdddtcctctccz11121)(()tititttzrcececc1233()tppzrcececc非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解使得非齐次线性差分方程成立的任意个解)(thzazazaz非齐次线性差分方程的通解)(2211thzazazazptpttt非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和ztz解之和tttzzztz时序分析与线性差分方程的关系常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程差分方程线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义断模稳有着非常要义例bkayky)()1(显然是一个一阶非齐次差分方程。例yy)()(显然是个阶非齐次差分方程。解：求相应的齐次差分方程的通解，则有aakk,01∴是相应的齐次方程的通解。kaky)(下面求特解，设)(ky常数d，则bdbaddadbadd1,故原方程的通解为bCakyk)(aCaky1)(例：0)(9)1(6)2(kYkYkY解：本例是一个二阶齐次方程。为求其通解，则有k2k1k690则有690显然有重根321则方程的通解为kkCCkY3)()(21,(1,2)iCi为任意实数，其中本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.序列预测4.3.2ARMA模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）3.2.1AR模型一个实际的例子单摆现象XX.1tttXX称之为一阶自回归模型，又被称为一阶随机差分方程。一.AR(1)模型()模型特征越接近0阻尼就越大单摆稳定的特征：越接近0，阻尼就越大，单摆稳定的越快；越接近，阻尼越小，单摆振荡得越剧烈1越剧烈。只要,单摆总能稳定下来，这时系统被称为是稳定的。当时，单摆)1,1(11||或被称为是稳定的当时，单摆无法稳定下来，这时称系统(1.1)是非稳定的。312-10-2-3200225250275300325350X1tttaxxax10,35.0,562420-4-2-6200225250275300325350X2X2tttaxxax10,85.0,5ttt10,,623456-1012-3-2255075100X14602-6-4-2255075100X2一般地，如果时间序列),2,1(tXt后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型:描述这种关系的数学模型就是阶自回归模型:t1t1tXX(3.2.1)记作AR(1)其中为零均值(即中心化处理后的)平稳序列记作AR(1)。其中，tX为零均值(即中心化处理后的)平稳序列.1为tX对1tX的依赖程度，t为随机扰动。对1为对1.一阶自回归模型的特点AR(1)模型也把tX分解为独立的两部分：一是依赖于1tX阶自回归模型的特点的部分11tX；二是与1tX不相关的部分(独立正态同分布序列)t2.AR(1)与普通一元线性回归的区别:(1)普通线性回归模型需要组确定性变量值和相应的观测值(1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。(4)二者的假定不同。3.相关序列的独立化过程(3.2.1)式的另一种形式为：tt1t1XX上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器由于就AR(1)系统来说，相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在1tX已知的条件下，tx主要表现为对1tX的直接依赖性，显然，只要把tx中依赖于X的部分1t的直接依赖性，显然，只要把t中依赖于1tX的部分消除以后，剩下的部分)(11ttXX自然就是独立的了。4、AR(1)模型的特例——随机游动(1).11时的AR(1)模型：此时(3.2.1)式的具体形式为tt1tXX也可以用差分表示此时(3..)式的具体形式为tt1t也可以用差分表示ttXtt1tXX或所谓差分，就是tX与其前一期值的差，从统计上讲，差分结果所得到的序列就是逐期增长量。一般地k阶差分记作tkX。般地k阶差分记作t差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简称记为B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列。的。(2).特例形式的特性：(1)系统具有极强的期记忆性即惯性也就是说系统在1(1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动引起的引起的。(2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应即1tX，即1)1(1ttXX(3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即X0ttjjX二.AR(p)模型1.定义:具有如下结构的模型称为阶p自回归模型，简记为xxxx22110p)(pARxxxxptptpttt022110tEtsEVarEsttt0,0)(,)(0)(2，特别当时，称为中心化模型.tsExts,000)(pARAR(p)序列中心化变换称为的中心化序列令}{y}{x称为的中心化序列，令}{ty}{tx01p11ttxy自回归系数多项式自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为)(pAR以简记为xB)(自回归系数多项式ttxB)(自回归系数多项式pBBBB21)(ppBBBB2211)(3.2.2移动平均模型MA(q)(q)AR系统的特征是系统在时刻的响应仅与其以前时刻AR系统的特征是系统在t时刻的响应tX仅与其以前时刻12,,tttnXXX有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在t时刻的响应tX，与其以前时刻,2,1tt的响应21.ttXX无关，而与其以前时刻,2,1tt进入系统的扰动t1t2,,存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为MA系统。一.一阶移动平均模型：MA(1).阶移动平均模型：MA(1)对于一个MA系统来说，如果系统的响应tX仅与其前一时对于个系统来说如果系统的响应t刻进入系统的扰动仅与其前时存在一定的相关关系，我们就得到模型:Xt11tttX其中：t为白噪声。tXMA(1)模型的基本假设为：系统的响应仅与其前一时刻进入系统的扰动有一定的依存关系；而且为白噪声系统的扰动t1有定的依存关系；而且t为白噪声。二.MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶移动平均q模型，简记为)(qMA11220ttttqtqqx2()0(),()0,qtttsEVarEst，特别当时，称为中心化模型0)(qMA移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可)(qMA以简记为ttBx)(q阶移动平均系数多项式qBBBB2211)(qBBBB211)(3.2.3ARMA模型的定义个系统如果它在时刻t的响应不仅与以前时刻的自一个系统，如果它在时刻t的响应tX，不仅与以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统，相应的模。型记作ARMA则对于这样的系统要使响应X转化为独立序列型记作ARMA.则对于这样的系统要使响应tX转化为独立序列t，不仅要消除tX依赖于t时刻以前的自身部分，而且还必须消除X依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分除tX依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分。具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型简记为均模型，简记为),(qpARMAxxxqtqttptptt11110tsEVarEqpqtqttptptt0)()(0)(00211110，tsExtsEVarEtssttt,0,0)(,)(0)(，特别当时，称为中心化模型00),(qpARMA系数多项式引进延迟算子，中心化模型),(qpARMA又可以简记