第三章平稳时间序列模型的建立

第三章平稳时间序列模型的建立本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出实际案例。第一节模型识别与定阶一、自相关函数和偏自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计,...1,0,1ˆ1kyyyyNkNkkttk,...1,0,1ˆ1*kyyyykNkNkkttk,...1,0,ˆˆˆ0kkk,...1,0,ˆˆˆ0**kkk1）是平稳时间序列自协方差的无偏估计量；则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。2）通常是正定的。*ˆkkˆ021201110ˆ...ˆˆ............ˆ...ˆˆˆ...ˆˆˆkkkkk（二）偏自相关函数的估计sssssssssˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆ1ˆˆˆ12121212111二、模型的初步识别（一）截尾性的判断若yt是一个真实MA（q）模型，kˆqkskNN12)21(1,0~ˆ%3.68)ˆ21(1||1212qsskNP%5.95)ˆ21(2||1212qsskNP例1，某资产组合过去100个交易日收益率情况020406080100120-3-2-101234根据数据可以得出，100N，10,...2,1,ˆ,10100iMik1k时，0.10.025-21101)ˆ21(122/112qssN10,....,2,1i时，-0.278ˆ2，-0.125ˆ3，...,-0.011ˆ11，满足0.1ˆik的比例为%60106，小于68.3%。2k时，0.10750.278-20.025-21101)ˆ21(1222/112qssN10,....,2,1i时，-0.125ˆ3，-0.037ˆ4...,0.042ˆ12，满足0.1075ˆik的比例为%70107，大于68.3%。因此该序列自相关函数在2阶截尾。（二）偏相关系数截尾性的判断若yt是一个AR（p）过程，ps)1,0(NNkkˆ~%3.681|ˆ|Npss%5.952|ˆ|Npss（三）ARMA（p，q）模型识别模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾三、模型的定阶1、残差的方差2ˆ残差的方差实际观测值个数－模型的参数个数AR(p)的模型为tptpttaXXX1，则有效的样本容量为N-P，估计的参数为(p+1),所以AR(p)的残差方差为：pNppN2)1(ˆ2残差平方和或残差平方和MA(q)的模型残差方差:qNqN残差平方和或残差平方和)1(ˆ2ARMA(p,q)的模型残差方差:)()1(ˆ2qppNqppN残差平方和或残差平方和残差方差小，相应的阶数合理。模型残差平方和自由度残差方差AR(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.53610模型的残差方差图77507800785079007950800080508100815082008250AR(1)AR(2)AR(3)模型类别残差方差2、ACF和PACF定阶法模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数（ACF）拖尾截尾拖尾偏自相关函数（PACF）截尾拖尾拖尾（三）F检验定阶法利用方差分析的工具，比较ARMA（p，q）模型和ARMA（p-1，q-1）的残差平方和，用F检验判定阶数降低后的模型与原来的模型之间是否存在显著性差异。做法是：拟合ARMA（p，q）和ARMA（p-1，q-1）模型，并记模型的残差平方和为0Q和1Q，0df和1df分别为其自由度。检验的原假设为：000qpH，：；001qpH或：检验的统计量1001212~(,21)(1)QQQFFdfdfnpqdfdfNppq模型残差平方和自由度残差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.995604:0H14:0H10071123.9671104.1310.015160571104.13/55QQQF两模型几乎没有差异。（四）模型定阶的最佳准则函数法1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就是最合适的阶数。衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。2、最佳准则函数包括AIC、BIC等准则。AIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否合适)的推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则既适合于AR，也适合于ARMA模型。实际中,常用AIC准则:(1)分别取00,1,,pkP;(2)求AR(k)时的2ˆk;(3)计算202ˆAIC()ln,0,1,,kkkkPN(4)ˆmin{|[AIC()]}kpkk称为AIC定阶.注:一般ˆpp,并无ˆpp依概率,即不相合;为克服不相合,改用BIC(k)函数定阶.20lnˆBIC()ln,0,1,,kkNkkPN注:若2~WN(0,)t是独立同分布的,则BIC(k)是强相合的;当N不大,BIC定阶偏低,会失真,宜取AIC.第二节模型参数的估计一、模型参数的矩方法估计二、最小二乘估计三、极大似然估计一、模型参数的矩估计（一）AR(p)模型的矩估计tptptttaxxxx2211pkpkkk2211于是可得如下的Yule-Walk方程：02211202112112011pppppppppppppppppˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆ1ˆˆˆ2111321231112212122211221120))(()(apptptpttttaxxxxExE于是可得到的矩估计：)ˆˆˆˆˆˆ1(ˆˆ221102ppa例1，AR(1)模型的矩估计)ˆˆ(ˆˆˆˆˆaxxattt11020111111则设例2，AR(2)模型参数的矩估计)ˆˆˆˆ1(ˆˆˆ1ˆˆˆˆ1)ˆ1(ˆˆ:ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,2211022121222121211221112212211aattttaxxx求解得由前推导的一般公式得待估计参数设（三）MA(q)模型参数的矩估计第四章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将代替，代替(i=1,2…q),得如下方程组：2,ak2ˆ,ˆakqkkqkqkkaaqk,2,1)ˆˆˆˆˆ(ˆ0ˆ)ˆˆˆ1(ˆ112222221i上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即可以求出各参数：方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。qaˆ,ˆ,ˆ,ˆ212iˆ例3.MA(1)模型参数的矩估计0112211112111211121212011ˆˆˆˆ:ˆˆˆ:)()()(ˆˆˆ)()ˆ(ˆˆ:aaxaattt即得由则由前结论可知设2ˆ411ˆˆ:)1()3()3(ˆ2ˆ411ˆ:,1,ˆ2ˆ411ˆ:2102121111211aMA式解得式代入将所以可逆性知由解一元二次方程式得例4.求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计ttttxxx22112112121112121ˆˆ1ˆ1ˆ212122ˆ1ˆˆˆ优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值二、最小二乘估计040320132122)ex(E:x.st,)ee(E:.)e(E)e(Var:.;)e(E:.:en,,,texy:tttstettttttt不相关与解释变量无序列相关常方差零均值有以下的基本假定误差项模型先考虑以下简单的回归AR(p)模型的最小二乘估计设12,,,pddd是系数的估计,称使残差1122ˆ()jjjjpjpydydydy的2121ˆ(,,,)NpjjpSddd最小的ˆ{}jd记1111122212,,pppppppNNNpNyyyydyyydydyyyyYXd当TXX正定时,有惟一的解112ˆˆˆ(,,,)()TTTpaaaXXXY22121||ˆˆˆˆ(,,,)pXSaaaNpNpYa.对于ARMA模型或MA模型参数的估计，一般采用非线性最小二乘法，或极大似然估计法。模型参数的极大似然估计2'22212ln2||lg212ln2),|,,,(yyNMNyyylNNNM0212ln20222ln2'22'22'22'22yyyyNyyNyyNNNNNMMMM四、模型参数的最小平方和估计yySNM'021'2yyNM第三节模型的适应性检验一、模型的适应性检验二、模型的平稳性和可逆性分析一、模型的适应性检验若建立的模型恰当的描绘了已给数据数据序列的ARMA模型，那么模型拟合的残差应是白噪声序列，即均值为零、常数方差、彼此不相关。ARMA模型的适应性检验，主要就是检验残差是否为白噪声序列。散点图法估计相关系数法F检验法卡方检验法F检验法)qp(pNQdfdfQQF102101如果,则拒绝原假设，即认为ARMA（p，q）与ARMA（p-1，q-1）模型的拟合精度有显著性差异，降阶是不恰当的。反之，如果，则两个模型的拟合精度没有显著性差异，降阶是合理的。FFFF卡方检验法设为估计出的残差序列，其样本自相关函数为：121ˆˆˆˆnkttktknttaaa通常用Q统计量检验原假设是否为白噪声。taˆ.a,H),mL(Q.a,H),mL(Q:m)mL(~Q:knˆ)n(nQ:QBox~LjungˆnQ:QPierce~Box:)n(]n[L]n[L:H:ttLkkLkkLo不是白噪声此时认为则拒绝若为白噪声此时可认为则不能拒绝若均