第三章连续时间系统的频域分析

1第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§6.3---6.4）信号分解的目的：将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。1．正交函数集任意信号)(tf可表示为n维正交函数之和：nrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(原函数tgtgtgr21,相互正交：nmKnmdttgtgmttnm,,0)()(21tgr称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。2．能量信号和功率和信号（§6.6一）设ti为流过电阻R的电流，瞬时功率为RtitP)()(2一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1Ω，则在整时间域内，实信号tf的能量，平均功率为：222000)(limTTTdttfW2220000)(1limTTTdttfTP讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：W0(有限值)0PP0(有限值)W满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。3．帕斯瓦尔定理设)(tgr为完备的正交函数集，即2121222212121)(rttrrrttrrttdttgCdttgCdttf信号的能量基底信号的能量各分量此式称为帕斯瓦尔定理P331式（6-81）(P93,P350)左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1)周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式：1110sincos)(nnntnbtnaatf=110)cos(nnntncc指数形式：tjnnenFtf1)()(1(2)周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性)(,1nFn谐波性：(离散性)谱线只出现在1n处，唯一性：)(tf的谱线唯一(3)两种频谱图的关系三角形式：~nc，~n单边频谱指数形式：~)(1nF,~n双边频谱两者幅度关系)(1nF=021ncn000acF指数形式的幅度谱为偶函数)()(11nFnF3指数形式的相位谱为奇函数)()(11nn(4)引入负频率对于双边频谱，负频率)(1n，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?)(tf是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对tjne1与tjne1，才能保证)(tf实函数性质不变。(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质例如：冲激序列为整数）nnTttnT()()(的付里叶级数t0tTTT11nFOT1分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即)(1nFTdtetTTTtjn11221tjnnTeTttf11)()()(tT的频谱，有离散性，谐波性，无收敛性，频带无限宽周期信号的功率1．描述周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理)1110sincos)(nnntnbtnaatf4平均功率:TdttfTP02)(1122012202121nnnncacanc是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。∴总平均功率=各次谐波的平均功率之和对于指数形式的傅里叶级数P=TdttfT02)(1nnnFnF221,00aF三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论其频谱的特点。频谱结构已知矩形脉冲信号的脉宽为1,,TE周期为脉冲高度为脉宽为。)(tf2/2/t1T1T三角形式的谱系数tf是个偶函数nnaab,,00只有。指数形式的谱系数)(1nF=221111)(1TTtjndtetfT2Sa11nTE频谱特点包络线按抽样形状变化xxSa12302351sin0sin)(Sxxxxxxa时，：当抽样函数频谱是离散的）的整数倍有值（谐波性的函数，只在是111~nnF。处，为其最大值在10TEn1112TT谱线间隔幅度非周期信号。由周期信号为无限小，，，时，当tfTET111矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性对比波形：sTsTsT12141321)(1nF5E210)(1nF10E210)(1nF20E2106频带宽度周期矩形脉冲信号的频谱每当mn21（m取整数）时，通过零点。其中第一个零点在21n，即21n，此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：，带宽与脉宽成反比。或12fBB宽度。的频率区间定义为频带幅度下降为对于一般周期信号，将max1101nF系统的通频带信号的带宽，才能不失真四．非周期信号的频谱分析─傅里叶变换傅里叶变换：时，当)(1tfT周期信号非周期信号谱系数：2211111)(1)(TTtjndtetfTnF(1)fnFTnFnFT111111单位频带上的频谱值当1T时，dtetfdtetfnFTFtjTTtjnTT)()(221111111limlimF称为频谱密度函数，简称频谱函数。由)(tf求)(F称为傅立叶变换。)(F一般为复信号，故可表示为7)(|)(|)(jeFF：幅度频谱|~)(|F：相位频谱~)(反变换tf应是F的反变换。deFtftj21)(傅立叶变换对)()()(tfFdtetfFtj)(21)(1tfFdeFtftj称为付里叶变换对，简写Ftf，其中)(tf称为原函数，)(F称为象函数。傅立叶变换的特殊形式jXReFFj实部虚部tftftfoe)(实信号偶分量奇分量00sin)(2cos)(2sincos)()()(tdttfjtdttfdttjttftfdtetfFoeoetj实部虚部0cos)(2tdttfRe关于的偶函数0sin)(2tdttfXo关于的奇函数22XRF关于的偶函数RXtg1关于的奇函数8tf偶函数（奇分量为零）F为实函数，只有R，相位tf奇函数（偶分量为零）F为虚函数，只有X，相位2奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义)(tf为实函数tjtjedFdeFtf221)(deeFtjj)(21dtFjdtFsin21cos21dtFcos21dtFcos10tdFcos0求和振幅正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为：无穷多个幅度为无穷小(dF21)的连续指数信号之和，占据整个频域，:；无穷多个振幅为无穷小(dF1)的连续余弦信号之和，频域范围：0。傅里叶变换存在的条件充分条件有限值dttf即)(tf绝对可积，F存在。所有能量信号均满足此条件。当引入函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。9五．典型非周期信号的频谱矩形脉冲F2SaE幅度频谱：2SaEFFE2042频宽：12fBB或相位频谱：2042单边指数信号dtetuEeFtjtjEE0tft22tf0tE10F0E022直流信号EtEtf)(tf不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求F；利用矩形脉冲的频谱求极限。2E0EttfOE2F时域无限宽，频带无限窄。211Ftf时，当符号函数0,10,1sgn)(ttttf这个信号不满足绝对可积条件。处理方法：做成一个双边函数.sgn11FFettft，，求极限得到，求2222sgnjejjt02)(F02211冲激函数1)(dtetFtj1)(tBt,01时的矩形脉冲，看作。冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。t01tf0F121)(对称性01F021ttf冲激偶的付里叶变换∵0fdtttf∴jjedtettttjtj0单位阶跃函数u(t)jtu1)(120F00六.傅立叶变换的性质傅立叶变换具有唯一性。付氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论付里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求F；了解在通信系统领域中的实用。对称性线性奇偶虚实性微分性质尺度变换特性时移特性频移特性时域积分性质4.微分性质时域微分)()()()(FjtfFtf，则如果tf中有确定的直流分量，应先取出单独求付氏变换，余下部分再用微分性质。频域微分djdFttfFtf)()()(，则若或dFdtjtf)(5.尺度变换特性为非零常数。，，则若aaFaatfFtf1)()()(信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。136.时移特性0)()()()(0tjeFttfFtf，则若;0)(0)()()()()(tjjjeFttfeFF，则若幅度频谱无变化，只影响相位频谱，7.当f(t)时移和尺度变换都有时)()(Ftf若，0,1aeaFabatfabj则8.频移特性通信中调制与解调，频分复用)()(Ftf若号为常数，注意则00000)()(FetfFetftjtj9.时域积分性质，则若FtfjFdfFt时，00jFFdfFt000时，七．卷积定理1．时域卷积定理2211,FtfFtf若2121FFtftf则意义：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2．频域卷积定理2211,