第九章 时间序列趋势外推法

经济预测与决策重庆交通大学管理学院第九章时间序列趋势外推预测主要内容及学习目标1.了解时间序列的概念，理解时间序列的分解2.理解时间序列常用的预测方法3.掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法4.掌握时间序列的指数平滑预测法5.理解二次滑动平均预测法6.理解二次指数平滑预测法7.了解三次指数平滑预测法8.掌握时间序列的分解预测法9.理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预测法9-1时间序列分析预测法时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。一、概念：时间序列时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：Y=Y（t）时间序列绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列派生派生时期序列时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如各个年度的国民生产总值。时点序列时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各个年末的人口总数。思考：“增加到”、“增加了”这两种提法，哪个绝对？哪个相对？二、时间序列的影响因素一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这些因素可以分为四种：1.长期趋势变动2.季节变动3.循环变动4.不规则变动1.长期趋势变动长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。它反映了经济现象的主要变动趋势。长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用T表示，T=T（t）。2.循环变动循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周期性变动。即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。循环变动是时间的函数，通常用C表示，C=C（t）。3.季节变动季节变动是指以一年为周期的周期性变动。季节变动是时间的函数，通常用S表示，S=S（t）。4.不规则变动不规则变动是指由各种偶然因素引起的随机性变动。不规则变动通常用I表示，I=I（t）。三、时间序列因素的组合形式时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、循环变动和不规则变动四种因素综合作用的结果。四种因素组合的形式有多种，有以下两种基本形式。1．加法型Y=T+C+S+I2．乘法型Y=T·C·S·I四、时间序列预测的步骤时间序列预测的一般步骤是：1.根据已知时间序列，分解各变动因素，并找出其随时间变动的规律。2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时间序列的变动规律。3.根据时间序列的变动规律进行预测。9-2移动平均法移动平均法是根据时间序列，逐项推移，依次计算包含一定项数的移动平均数，据以进行预测的方法。移动平均法主要有：一次移动平均法二次移动平均法一、一次移动平均法设时间序列为：Y1Y2Yt。一次移动平均数的计算公式为：1)-(9Nt,M11(1)tNYYYNttt一次移动平均数的递推公式3)-9()29(......)1(112111)1(NYYMNYNYYYYNYNYYYMNtttNtNtNttttNtttt一次移动平均法预测公式为：即以第t期的一次移动平均数作为下一期（t+1期）的预测值。4)-(9Yˆ)1(1ttM项数N的选择N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，有利于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于反映出来；反之，N选取得越小，修匀性越差，不规则变动的影响不易消除，趋势变动不明显。但N应取多大，应根据具体情况作出决定。实践中，通常选用几个N值进行试算，通过比较在不同N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差最小的N值作为移动平均的项数。均方误差预测误差可以通过均方误差MSE来度量。式中：K——时间序列的项数KNtttYY12)ˆ(NK1MSE例9-1:某农机公司某年1月至12月某种农具的销售量如表9-1。试用一次移动平均法预测次年1月的销售量。表9-1一次移动平均数计算表单位：件月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5142323583434405444541255274694376429467439742646145285024524669480469473103844554441142743044412446419448解：分别取N=3，N=5，计算各月的一次移动平均数。计算两种N值下的均方误差：由计算结果可见，MSE3MSE5，故选取N=5，预测次年1月该农具的销售量为448件。表9-2误差平方和计算表月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5预测销售量误差平方预测销售量误差平方1423235834344445405160055274121322564294691600437647426467168143916985024611681452250094804527844661961038446972254737921114274557844463611244643025644444194482883611215二、二次移动平均法当时间序列没有明显的趋势变动时，可以采用一次移动平均法进行短期预测。当时间序列出现线性变动趋势时，可以采用二次移动平均法进行预测。1.二次移动平均数概念在一次移动平均数的基础上，再进行一次移动平均，其值称为二次移动平均数。2.二次移动平均法预测公式若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋势预测模型：式中：t——当前时期数T——当前时期至预测期的时期数at——对应于当前时期的线性方程的截距系数bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数8)-(91,2,TYˆTtTbattat、bt的估计式由于已知的时间序列具有线性变动规律,所以有：13)-(9212)-(9)(12)2()1()2()1(ttttttMMaMMNbWhy?线性趋势预测模型根据式（9-12）、（9-13）就可以通过一次移动平均数和二次移动平均数求出线性预测模型（9-8）的参数，建立线性趋势预测模型。例9-2：已知某商品连续12个月的市场需求量如表9-3所示，试用二次移动平均法预测5个月后的市场需求量。（取N=5）表9-3某商品市场需求量单位：千吨时期数t需求量Yt一次移动平均数二次移动平均数150250353456559546625676559868629716559107468621177716512807468解：分别计算当前时期t=12的一次移动平均数Mt（1）和二次移动平均数Mt（2）。得：M12（1）=74，M12（2）=68由式（9-12）、（9-13）得：8068742MM2aa)2(12)1(1212t3)6874(152)MM(1N2bb)2(12)1(1212t预测即估计5个月后市场需求量是95千吨。（千吨）：时，求955380YˆYˆ5T5125129-3指数平滑法移动平均法具有简便易行的优点，但受N的大小影响较大，对于早期的历史资料较少考虑或根本不加以利用。指数平滑法改进了这一缺点，它充分利用了历史资料，又考虑到各期数据的重要性，是目前应用较为广泛的预测方法之一。指数平滑法指数平滑法根据平滑次数不同，可分为：一次指数平滑法二次指数平滑法三次指数平滑法等一、一次指数平滑法1.一次指数平滑值2.一次指数平滑法预测模型3.平滑系数4.初始值的确定1.一次指数平滑值对一次移动平均数的递推公式（9-3）加以改进，用Mt-1（1）代替Yt-N，同时用St（1）表示Mt（1），则：式中：——平滑系数，且01。15)-(9S)1(S14)-(9)1(S(1)1-t(1)t)1(1(1)ttttYMY或：2.一次指数平滑法预测模型一次指数平滑法的预测模型为：由式（9-18）可见，利用一次指数平滑法进行预测，其值的大小受前一期的观测值和预测值的影响，这两部分所占的比重由平滑系数加以调整。)189ˆ)1(ˆ1（tttYYY3.平滑系数由预测模型可见，起到一个调节器的作用。如果值选取得越大，则越加大当前数据的比重，预测值受近期影响越大；如果值选取得越小，则越加大过去数据的比重，预测值受远期影响越大。因此，值大小的选取对预测的结果关系很大。如何选取值呢？通常值的选取类似于移动平均法中对值N的选取，即多选几个值进行试算，选择使预测误差小的值。4.初始值的确定式中S0（1）称为初始值，不能通过式（9-15）求得，一般是事先指定或估计。指定或估计的方法有两种：当时间序列的项数较多时，初始值对最终的预测结果影响相对小一些，可以指定第一项的值为初始值，即S0（1）=Y1；当时间序列的项数较少时，初始值的大小对最终预测结果的影响就不容忽视，通常是选取前几项的平均值作为初始值。例9-3已知某企业2000年1至12月利润额，试取平滑系数=0.1,0.5,0.9，分别求出该企业每月利润的指数平滑值，并预测2001年1月的利润额。（指定初始值S0（1）=Y1）解：当=0.1，S0（1）=51.3时：S1（1）=0.151.3(10.1)51.3=51.3S2（1）=0.135.7(10.1)51.3=49.7S3（1）=0.127.9(10.1)49.7=47.6同理,分别计算出=0.5、=0.9时各指数平滑值列于表(9-4)中。表9-4各月利润额及指数平滑值单位：千元月份利润额指数平滑值tYta=0.1a=0.5a=0.9151.351.351.351.3235.749.743.537.3327.947.635.728.8432.3463432548.246.241.146.6654.647.147.953.875247.649.952.2847.547.648.748942.34745.542.91045.846.945.745.51143.946.644.844.11247.246.74646.9预测与一次移动平均法类时，一次指数平滑法仅适用于近期预测。2001年1月的预测值可根据2000年12月的一次指数平滑值估计。即：当取=0.1时，估计2001年1月的利润额为46.7（千元）；当取=0.5时，估计2001年1月的利润额为46.0（千元）；当取=0.9时，估计2001年1月的利润额为46.9（千元）。二、二次指数平滑法当时间序列的变动呈线性趋势时，可采用二次指数平滑法。二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑。二次指数平滑值计算式：参照一次指数平滑值的计算，二次指数平滑值可采用下式计算：19)-(9S)1(SS(2)1-t(1)t(2)t线性趋势预测模型：若时间序列具有线性趋势变动，并预测未来亦按此趋势变动，则可以建立线性趋势预测模型：20)-(91,2TYˆTtTbattat、bt的估计式SS2a2t1tt）（）（]SS[1b2t1tt）（）（例9-4已知某商品最近12个月的国际市场需求量，取平滑系数=0.3，试用二次指数平滑法预测6个月之后国际市场的需求量。解：根据式（9-15）计算各一次指数平滑值列于表9-5的第三列，根据式（9-19）计算各二次指数平滑值列于表9-5的第四列。表9-5某商品的需求量及指数平滑值单位：万吨月份市场需求量一次指数平滑值二次指数平滑值tYtSt（1）St（2）150505025250.650.1834749.5249.9845149.9649.9754949.6749.8864849.1749.6775149.7249.6884046.848.8294847.1648.32105248.6148.41115149.3348.68125952.2349.75计算06.1