第二章 连续时间信号分析

第二章连续时间信号分析„连续时间信号的时、频域分析„常用及奇异信号的频域分析„傅里叶变换（级数）的基本性质及应用„傅里叶变换的卷积性质„非周期信号的能量密度„拉普拉斯变换§2-1概述用三角函数集或复指数函数集作为正交函数集对函数进行分解，称这种分析方法为“傅里叶分析(Fourieranalysis)”方法，该方法因法国数学家傅里叶(J．Fourier，1768—1830)于1822年提出并证明的“周期函数展开为正弦级数的原理”而得名。傅里叶分析方法是一种频域分析方法，它包括用于对周期信号进行频域分析的“傅里叶级数分析(Fourierseriesanalysis)”和用于对任意信号进行频域分析的“傅里叶变换分析(Fouriertransformanalysis)”。2.2.1周期信号的描述x(t)=x(t+nT0),t∈(-∞,+∞)00f120T==ωπ§2-2周期信号的傅立叶级数（时域分析）x(t)T2.2.1周期信号的描述00120fT==ωπ周期为Tl和周期为T2的两个(或多个)周期信号相加，可能是周期信号，也可能是非周期信号。这主要取决于在这两个周期Tl和T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时被Tl和T2所整除。若存在最小公倍数，则有n1Tl＝n2T2T1／T2＝n2／n1＝rationalnumbernl，n2positiveinteger例，已知tAtxtAtxππ10cos)(6cos)(2211==31622T11===ππωπ511022T22===ππωπ有理数352121===nnTT（n1=3,n2=5）Tl，T2最小公倍数为：T3=n1Tl＝n2T2=1所得的信号仍然是周期信号，其基本周期T3=12.2.2周期信号的傅立叶级数展开将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合（函数集合）(1)从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。(2)从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。意义：1、三角傅立叶级数∑∞=++=1000)sincos(2)(nnntnbtnaatxωω傅立叶级数展开的两种形式：三角傅立叶级数和指数型傅立叶级数2.2.2周期信号的傅立叶级数展开这种方法也可称周期信号的时城分析∫−=2/T2/T0000dt)t(xT2a∫−=2/T2/T00n00tdtncos)t(xT2aω∫−=2/T2/T00n00tdtnsin)t(xT2bωn=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…1、三角傅立叶级数∑∞=++=1000)sincos(2)(nnntnbtnaatxωω2、指数型傅里叶级数∑∑∞−∞=∞−∞===nntjntjnenXectx0)()(0ωωω∫−−==2/T2/T0tjn0n000)n(Xdte)t(xT1cωω2.2.2周期信号的傅立叶级数展开ComparisonofexponentialandtriangularFourierseriesrepresentationinperiodictimefunctions()[])(1tnjnenXtxω∑∞−∞==exponential∫−−=221)(1][TTtjndtetxTnXω())]sin()cos([21110tnbtnaatxnnnωω∑∞=++=∫=TdttxTa00)(2∫=TndttntxTa01)cos()(2ω∫=TndttntxTb01)sin()(2ωtriangular()(n=1,2,3,…)…,3,2,1,0±±±=n周期信号展开为傅立叶级数周期信号展开为傅立叶级数条件（三个有限）条件（三个有限）(1)(1)周期信号周期信号ff((tt))应满足应满足DirichletDirichlet条件，即绝对可积：条件，即绝对可积：(2)在一个周期内只有有限个有限的不连续点（间断点的个数有限）(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值（极大值和极小值的数目有限）∞∫−dttfTT2/2/)(（积分值有限）§2-3周期信号的频域分析2．3．1频谱分析周期信号周期信号x(tx(t))可以分解为不同频率复指数信号之和可以分解为不同频率复指数信号之和X(nω0)是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数X(nω0)不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。∑∞−∞==ntjnenXtx0)()(0ωω)(000|)(|)(ωϕωωnjenXnX=X（nω0）从x（t）的傅里叶级数表示式中，获得反映信号全貌的三个基本特征，即基频、各谐波的幅度和相位。幅频特性相频特性§2-3周期信号的频域分析2．3．1频谱分析频谱特性用频率函数来描述任意信号的方法称为信号的频域分析周期矩形脉冲信号频谱图E=10v，T0=1s，τ=0.2s2．3．2频谱的特性1、离散性周期信号的频谱是由间隔为ω0的谱线组成谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期性的离散频谱，即线谱。信号周期T越大，ω0就越小，则谱线越密。反之，T越小，ω0越大，谱线则越疏。2、幅度衰减特性„当周期信号的幅度频谱随着谐波nω0增大时，幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。„若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。离散性谐波性收敛性周期矩形脉冲信号的频谱图nF0ωnTA/τT/20πω=τπ2τπ2−)2()(00τωτωnSaTAnF=3、信号的有效带宽0~20~2ππ//ττ这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度,,即即τπω2=B信号的有效带宽与信号时域的持续时间τ成反比。即τ越大，其ωB越小；反之，τ越小，其ωB越大。物理意义：信号的能量主要集中在有效带宽内,因此若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。2．3．3离散频谱与功率分配周期信号是功率信号。如果信号x(t)表示为加在1欧姆电阻两端的电压或通过的电流，则其瞬时功率为x2(t)，平均功率为：∫∫−==2/T2/T20T020000dt)t(xT1dt|)t(x|T1p若x（t）存在相应的X（nω0），则平均功率可写成∫−∗∗=2/T2/T000dt)t(x)t(xT1p∫−∗∗=2/T2/T000dt)t(x)t(xT1p∫∑∑−∞−∞=∗−∞−∞==2/2/0000000))(())((1TTntjnntjndtenXenXTωωωω∑∑∫∞−∞=∞−∞=−−∗=nn2/T2/Tt)mn(j000dte)n(X)n(XT1000ωωωnmnmnXn≠=⎪⎩⎪⎨⎧=∑∞−∞=0|)(|20ω∑∞−∞==nnX20|)(|ω∫−=2/2/2000)(1TTdttxTp∑∞−∞==nnX20|)(|ω该式反映了周期信号的平均功率与离散频谱之间的关系，称为功率信号的帕斯瓦尔公式(Parseval’sFormular)。也称帕斯瓦尔功率守恒定理该式说明周期信号在时域的平均功率等于频域各谐波分量(含直流量)功率之和，因此每个分量幅度大小的变化，反映了功率分布的变化规律。周期信号的功率频谱：|Xn|2随nω0分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。例题试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2π/τ)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，τ=1/20。2τ2τ−T−AtT)(tfT[解]周期矩形脉冲的傅立叶复系数为)2(0τωτnSaTAFn=将A=1，T=1/4，τ=1/20，ω0=2π/T=8π代入上式)5/(Sa2.0)40/(Sa2.00πωnnFn==包含在有效带宽(0~2π/τ)内的各谐波平均功率为：∑∑+==41=n20244=n201|)(|2)0(|)(|ωωnFFnFP—1806.0=%90200.01806.01==PP信号的平均功率为2.0)(12/2/2==∫−TTdttfTP2nF0ωn8ππ40π40−251周期信号的功率谱吉伯斯现象用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲（肩峰），过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且约为跳变值的9%。吉伯斯现象产生原因时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2N=5N=50N=15N=500利用冲激函数表示非周期信号§2-4非周期信号的时域分析下图是一个非周期信号，可以近似地用宽度为Δ，面积为x(kΔ)·Δ的一系列窄脉冲的线性组合来表示。其中k为整数，x(kΔ)表示在kΔ时刻x(t)的值。x(t)kΔ+Δ−−Δ−Δ+Δ−−+≈)]2t(u)t(u)[(x)]t(u)t(u)[0(x)t(x+Δ−Δ−−Δ−Δ+)]kt(u)kt(u)[k(x根据第一章冲激信号的定义以及它与阶跃信号的关系有：dt)t(du)t()t(lim0==Δ→ΔδδΔΔ=Δ)t(u)t(δ所以Δ=Δ=Δ−−Δ)t()0(x)]t(u)[0(x)]t(u)t(u)[0(xδΔΔ−Δ=Δ−−Δ−ΔΔ)t()(x)]2t(u)t(u)[(xδ……故有：ΔΔ−Δ≈∑∞−∞=Δk)kt()k(x)t(xδ当Δ→0，则kΔ→τ，Δ→dτ，∑∫∞−∞=∞∞−→k最后求得x（t）的准确表达式为：ττδτd)t()(x)t(x∫∞∞−−=上式表明任何一个非周期信号可以由一系列不同强度(x(τ)dτ)，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。该式也即第一章所说的卷积函数x(t)*δ(t)。即：ττδτδd)t()(x)t(x(t)x(t)∫∞∞−−==∗上式表明，任意连续时间函数与冲激函数相卷积仍等于原来时间函数。将非周期信号分解为冲激信号的线性组合，对线性系统的时域分析具有重要理论意义和实际意义。将信号分解为δ(t)函数的物理意义与实际应用ττδτd)t()(x)t(x∫∞∞−−=物理意义：物理意义：不同的信号都可以分解为冲激序列，信号不同只是它们的系数不同。实际应用：实际应用：当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号x(t)产生的响应。§2-5非周期信号的频域分析周期信号的频谱是离散周期信号对应离散频谱)(0ωnX周期大小决定（频谱的）离散间隔ω0=2π/T02．5．1频谱密度函数周期矩形脉冲信号离散频谱函数X（nω0）：0n00000|)2(SaTEn21n21sinTE)n(Xωωωτττωτωτω===2．5．1频谱密度函数从图中可见：当n＝o振幅值等于Eτ／T0为最大；当n＝l基频ωo＝2π／T0;各谱线之间的间隔Δω=ωo＝2π／T0，频谱包络线第一个过零点的n0值按:0n21sin00=τω求得:πτω=00n21τ00Tn=设脉冲宽度τ＝0．2秒，周期从T0＝1秒增加到2秒、4秒，则求得相应的离散频谱分别如图所示该图表示谱线之间(相邻频率分量)的间隔ω0＝2π／T0，随着T0的增加在逐步减少。从nω0＝0到第一个过零点的频带宽度为n0ω0＝2π/τ，因τ不变而保持不变，故而从0—n0ω0之间所容纳的谐波分量随着T0的增加而增多，其结果使得谱线越来越密集。如果把非周期信号看作周期信号，当周期趋于无穷大的极限情况，则由于T0→∞，各谱线之间的间隔趋于零，使原为离散的频谱变成连续频谱，虽然这时频谱的变化规律仍按包络线Sa(x)在变化。但因T0→∞幅度频谱|X（n