高三数学文二轮复习-1.3基本初等函数-课件

1．二次函数的图象与性质(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线①a定形状，b、c定位置，过定点(0，c)；②对称轴为x＝－b2a，顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．(2)当a0时，图象开口向上，在(－∞，－b2a]上单调递减，在[－b2a，＋∞)上单调递增；当a0时，图象开口向下，在(－∞，－b2a]上单调递增，[－b2a，＋∞)上单调递减．2．指数函数与对数函数的性质：指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a1时为增函数，0a1时为减函数a1时为增函数，0a1时为减函数奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧1.(2010·四川高考)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－m2，当m＝－2时，－m2＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：A2．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是()A．(－∞，－52)B．(52，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－52，＋∞)解析：设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)0，即1－2m＋40⇔m52，故选B.答案：B3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，22)，则f(4)的值等于()A．16B.116C．2D.12解析：将(2，22)代入得：2α＝22，所以α＝－12，故f(4)＝12.答案：D4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称．若f(m)＝－1，则m的值为()A．－eB．－1eC．eD.1e解析：依题意得，点(m，－1)位于函数y＝f(x)的图象上，点(m，－1)关于y轴的对称点(－m，－1)必位于y＝g(x)的图象上，点(－m，－1)关于直线y＝x的对称点(－1，－m)位于函数y＝ex的图象上，因此有－m＝e－1＝1e，m＝－1e，故选B.答案：B5．设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B.12(12)a(12)bC．a2ab1解析：依题意得ab－b2＝b(a－b)0，abb2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝(12)x在R上是减函数得，当0ba1时，有(12)0(12)b(12)a(12)1，即12(12)a(12)b，因此B正确；同理可知D不正确．综上所述，选B.答案：B热点之一二次函数的图象与性质1．求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．2．注意三个“二次”的相互转化解题3．二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”【例1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)且同时满足：①f(－1)＝0，②对任意的实数恒有x≤f(x)≤(x＋12)2成立．(1)求f(1)；(2)求f(x)的表达式；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(m是实数)是单调函数，求m的取值范围．【分析】本题可以根据f(－1)＝0，与x≤f(x)≤(x＋12)2恒成立，然后利用待定系数法得a、b、c，从而得f(x)的表达式．(3)问利用数形结合、分类讨论思想解决．【解】(1)∵对任意的实数x恒有x≤f(x)≤(x＋12)2，∴令x＝1，则1≤f(1)≤(1＋12)2＝1，∴f(1)＝1.(2)由f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，解得a＋c＝12b＝12，由f(x)－x≥0，即ax2－12x＋(12－a)≥0在R上恒成立，得a014－4a12－a≤0，即(4a－1)2≤0，∴a＝14，从而c＝14，经检验满足②，∴a＝14，b＝12，c＝14，∴f(x)＝14x2＋12x＋14.(3)g(x)＝14x2＋12x＋14－mx＝14x2－(m－12)x＋14，要使g(x)在[－1,1]上是单调函数，只要m－122×14≤－1或m－122×14≥1，∴m≤0或m≥1.热点之二指数函数与对数函数的图象与性质指数函数与对数函数的图象与性质见下表：指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a1时为增函数，0a1时为减函数a1时为增函数，0a1时为减函数奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧【例2】(1)已知函数，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()【解析】，得因此，x≥0时，y＝f(1－x)为减函数，且y0；x0时，y＝f(1－x)为增函数，且y0.【答案】C(2)已知a0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)12，则实数a的取值范围是()A．(0，12]∪[2，＋∞)B．[14，1)∪(1,4]C．[12，1)∪(1,2]D．(0，14]∪[4，＋∞)【解析】f(x)12，即x2－ax12，x2－12ax.当0a1时，如图1甲所示，在x＝1处，得12≤a，图1∴12≤a1；当a1时，如图乙所示，在x＝－1处，得12≤1a，∴1a≤2.【答案】C热点之三幂函数【例3】(2011·陕西高考)函数y＝x13的图象是()【解析】∵函数y＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x1,0a1时，y＝xa在直线y＝x下方，排除C，选B.【答案】B热点之四函数性质的综合应用函数图象的性质常与多个知识点交汇命题，且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查：1．单调性(区间)问题，热点有：(1)确定函数单调性(区间)；(2)应用函数单调性求函数值域(最值)、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式．2．奇偶性、周期性、对称性的确定与应用．3．最值(值域)问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合．【例4】已知函数f(x)＝2x－a2x，将y＝f(x)的图象向右平移两个单位，得到y＝g(x)的图象．(1)求函数y＝g(x)的解析式；(2)若函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝1对称，求函数y＝h(x)的解析式；(3)设F(x)＝1af(x)＋h(x)，已知F(x)的最小值是m，且m2＋7，求实数a的取值范围．【解】(1)由题设，g(x)＝f(x－2)＝2x－2－a2x－2.(2)设(x，y)在y＝h(x)的图象上，(x1，y1)在y＝g(x)的图象上，则x1＝x，y1＝2－y，∴2－y＝g(x)，y＝2－g(x)，即h(x)＝2－2x－2＋a2x－2.(3)由题设，F(x)＝2xa－12x＋2－2x－2＋a2x－2＝(1a－14)2x＋12x(4a－1)＋2.∵a≠0，①当a0时，有1a－140,4a－10，而2x0，12x0，∴F(x)2，这与F(x)的最小值m2＋7矛盾；②当0a≤14时，有1a－140,4a－1≤0，F(x)在R上是增函数，故不存在最小值；③当a≥4时，有1a－14≤0,4a－10，此时F(x)在R上是减函数，故不存在最小值；④当14a4时，有1a－140,4a－10，F(x)≥24－a4a－14a＋2.当且仅当2x＝4a4a－14－a时取得等号，F(x)取最小值m＝24－a4a－14a＋2.又m2＋7及14a4，得4－a4a－14a74，14a4，解得12a2，14a4，∴12a2.几种初等函数是高考重点考查的对象，在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查，考查的题型多样．从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现，以考查这些函数的图象与性质为主同时还经常将对这些内容的考查与其他知识融合在一起，体现知识点的交汇．1．(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为()A．0B.33C．1D.3解析：由题意知9＝3a，∴a＝2.∴tanaπ6＝tanπ3＝3.答案：D2．(2010·安徽高考)设a＝2535，b＝3525，c＝2525，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca解析：构造指数函数y＝(25)x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得bc；又y＝(25)x(x∈R)与y＝(35)x(x∈R)之间有如下结论：当x0时，有(35)x(25)x，故25352525，∴ac，故acb.答案：A3．(2010·北京高考)给定函数①y＝x12，，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意．答案：B4．(2010·天津高考)设函数若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意可得或，解之可得a1或－1a0.答案：C5．(2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析：∵a2，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b，∵2a3b4，∴0loga21，－22－b－1.∴－2loga2＋2－b0.又1loga32，－13－b0，∴0loga3＋3－b2，即f(2)0，f(3)0.又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)必存在唯一零点．答案：2