湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案

研究生课程考试命题专用纸第1页共13页湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：工程数学专业年级：2011级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器)考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。一．填空题（每小题5分，共30分）1.用355113作为圆周率3.14159265的近似值时，有位有效数字。2.2()(5),xxx要使迭代法1()kkxx局部收敛到*5,x则的取值范围是.3.若12,21A则谱条件数1222()CondAAA.4.设01,,,nxxx为1n个互异的插值节点，()()(0,1,,)()jijiijxxlxinxx为拉格朗日插值基函数，则10(0)nniiilx.5.已知实验数据ix0123iy1245则拟合这组数据的直线为y.6.要使求积公式11101()(0)()4fxdxfAfx具有2次代数精度，则1x，1A二．(11分)给定方程32()360.fxxx(1)证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2)用牛顿迭代法求出*x的近似值，取初值01.5,x要求5110.kkxx三．(10分)用高斯列主元素消去法解线性方程组123123201128.2419xxx研究生课程考试命题专用纸第2页共13页四．(10分)给定线性方程组12321111111,1121xxx写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。五．(13分)试根据数表ix102iy101416iy1－1构造Hermite(埃尔米特)插值多项式().Hx六．(10分)求常数,使积分1220xexxdx取最小值。七．(16分)用龙贝格方法求积分311Idxx的近似值，要求误差不超过310.研究生课程考试命题专用纸第3页共13页工程数学试题参考答案一．(1)7;(2)0,51;(3)3;(4)nnxxx10)1(;(5)x4.19.0;(6).43,3211Ax二．解.(1)因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2xxxxfffCxf所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x(4分)(2)牛顿迭代格式为.,2,1,0,6363263632232231kxxxxxxxxxxkkkkkkkkkk(7分)取初值,5.10x计算结果如下：k01234kx1.51.2380951.1968151.1958241.1958235*43410,1.195823.xxxx(11分)三．解.12320241911281128241912320(2分)24195703225490422(4分)24195490422570322(5分)24195490422351750088(7分)等价的上三角形方程组为研究生课程考试命题专用纸第4页共13页123233249,5494,2235175.88xxxxxx回代得3215,3,1.xxx(10分)四.解.雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121121(3)112kkkkkkkkkxxxxxxxxx分雅可比迭代矩阵11022101,11022JB(5分)其特征方程11||0,22JEBJB的特征值12,310,.2(8分)因为谱半径11,2JB所以雅可比迭代法收敛。(10分)五．列表计算差商ix()ifx一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商－110－1101014432161－143216－1－1049(10分)22244()10(1)3(1)(1)(1)(2).39Hxxxxxxxx(13分)研究生课程考试命题专用纸第5页共13页六．解.取201(),(),();xxxxxfxe定义内积10,()(),(),()[0,1],fgfxgxdxfxgxC则120001,,3xdx130101,,4xdx100,1,xfxedx141101,,5xdx1210,2.xfxedxe(5分)正规方程组为1113411245e(8分)解得.537454.222080,903090.416860ee(10分)七.解.计算结果见下表k0()Tk1(1)Tk2(2)Tk3(3)Tk01.333333311.16666671.111111221.11666671.10000001.099259331.10321071.09872541.09864041.0986306(14分)因为3332(0)(0)0.62871010,TT所以1.0986306.I(16分)研究生课程考试命题专用纸第6页共13页湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：工程数学(A卷)专业年级：2014级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器)考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。三．填空题（每小题4分，共20分）1.设,)(xxf则导数值353101.0)2(f有位有效数字。2.若,3201,11Ax则1||||Ax，条件数()CondA.3.设13)(2xxf，则差商]2,1[f，[0,1,2,3]f.4.拟合三点)2,2(,)3,1(,)1,0(CBA的直线是y.5.参数时，求积公式)]()0([)]()0([2)(20hffhhffhdxxfh的代数精度达到最高，此时代数精度为.四．(12分)给定方程.2xex(3)证明该方程在区间)1,0(内存在唯一实根*;x(4)写出牛顿迭代法求*x的迭代格式；(5)若取初值,10x牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。三．(12分)用三角分解法解线性方程组.343112253321321xxx四．(16分)分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组3213215010010bbbxxx时，对任意初始向量都收敛的充要条件.五．(16分)用插值法求一个二次多项式),(2xP使得曲线)(2xPy在0x处与曲线xycos相切，在2x处与xycos相交，并证明.324|cos)(|max3220xxPx研究生课程考试命题专用纸第7页共13页六．(12分)求xxexf)(在]1,0[上的一次最佳平方逼近多项式。七．(12分)已知函数表请分别用8n的复化梯形公式和4n的复化辛浦生公式计算积分10)(dxxf的近似值.（取7位浮点数）工程数学试题(A卷)参考答案一．(1)3;(2)5,6;(3)0,9;(4)2321x;(5)3,121.二．解.(1)因为2)(xexfx在)1,0(上连续，并且,]1,0[01)(,01)1(,01)0(xexfeffx所以由零点定理和单调性知原方程在)1,0(内存在唯一实根.*x(4分)(2)牛顿迭代格式为.,2,1,0,121kexexxkkxkxkk(8分)⑶因为,])1,0[(0)(xexfx,0)1()1(ff所以牛顿迭代法收敛，且收敛阶为2.(12分)三.解.用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得562852137133321于是得x00.1250.2500.3750.500)(xf10.99739780.98961580.97672670.9588510x0.6250.7500.8751)(xf0.93615560.90885160.87719250.8414709研究生课程考试命题专用纸第8页共13页.56133,2800710321,152013001yUL(9分)回代求解上三角形线性方程组,Uxy得原方程组的解为.1,1,2123xxx即.)2,1,1(),,(321xxx(12分)四．解.雅可比迭代矩阵,050100100100)(1ULDBJ其特征方程为,01003||2JBE(4分)JB的谱半径,10||3)(JB所以J法收敛的充要条件是3100||.(8分)赛德尔迭代矩阵,50500010100001000000000500100010)(211ULDBG其特征方程为,01003||2GBE(12分)GB的谱半径,100||3)(GB所以G-S法收敛的充要条件是3100||.(16分)五．解.由条件得.0cos2,0)cos()0(,1cos)0(220202xxxxPxPxP(3分).2,0,0]0,0[)0()(22xfxffxP(6分)作差商表研究生课程考试命题专用纸第9页共13页kx)(kxf一阶差商二阶差商0101020224.41)(222xxP(9分).2,0,2612!3|sin||cos)(|222xxxxxxxP(12分)记,2)(2xxxg令,0)3()(xxxg得.3,021xx所以,54323)(max3220xgx故.324|cos)(|max3220xxPx(16分)六．解.(1)取,)(,1)(10xxx并设一次最佳平方逼近多项式为,bxay则,1),(,21),(,11),(10010101000dxxefxdxdxx,2),(,31),(,21),(10211021101edxexfdxxx(6分)正规方程组为213121211eba(8分)解得.3012,166ebea故所求的最佳平方逼近多项式为.616)3012(exey(12分)七．解.9767267.09896158.09973978.0(21[161)(108Tdxxf]8414709.0)8771925.09088516.09361556.09588510.0.9456908.0.(6分))8771925.