第二章离散时间信号与系统分析基础

BeijingInstituteofTechnology数字信号处理第二章离散时间信号与系统分析基础2/30数字化？nIsittheoriginalcontinuousone?Thisonemaybeobtainedthroughlow-passfiltering采样失真3/30数字化？__s(t)=sin(2πf0t)-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2ts(t)@fSf0=1Hz,fS=3Hz-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2t__s1(t)=sin(8πf0t)-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2t__s2(t)=sin(14πf0t)-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2t采样失真4/30AliasingexamplesOriginaloneReconstructionBeijingInstituteofTechnology5/30无损离散化的“度”若模拟信号的频谱带宽是有限的，则其时域连续波形存在一定的冗余性，经过离散采样后原有携带信息可实现无失真恢复，但是所采用的采样频率必须大于原模拟信号频谱中最高频率的两倍：fs≥2fh带通采样定理、多采样率问题Whittaker(s),Nyquist,Shannon,Kotel’nikovAsignals(t)withmaximumfrequencyfMAXcanberecoveredifsampledatfrequencyfS2fMAX.6/30采样定理图解：tfT1T2T3X(f)x(t)x(nT)mX(fm/T)∞=−∞+∑1/T11/T21/T3§2-1连续时间信号的取样和抽样定理理想采样信号为：冲激脉冲序列是以采样间隔为周期的周期性函数，可用傅氏级数展开：采样定理的证明p(t)δTaˆx(t)x(t)p(t)δ=anx(t)(tnT)∞=−∞=δ−∑anx(nT)(tnT)∞=−∞=δ−∑anx(nT)∞=−∞≠∑np(t)(tnT)∞δ=−∞=δ−∑2TjmtmmCeπ∞=−∞=∑sjmtmmCe∞ω=−∞=∑sjm2ftmmCe∞π=−∞=∑其中采样定理的证明()2T2T2TT/2jmtmT/2nT/2jmtT/2nT/2jmtT/21C(tnT)edtT1(tnT)edtT11(t)edtTTπππ∞−−=−∞∞−−=−∞−−=δ−=δ−=δ=∑∫∑∫∫tp(t)δTΩFT[p(t)]δ2π/T2Tπ0jktFTkk0kkCe2C(k)+∞+∞Ω=−∞=−∞←→πδΩ−Ω∑∑2jmtFTTmm122e(m)TTTπ+∞+∞=−∞=−∞ππ←→δΩ−∑∑理想采样信号的频谱为：采样定理的证明()2Tsjtjtajmtjtamj(m)tamasmamˆˆX(j)x(t)edtx(t)p(t)edt1x(t)eedtT1x(t)edtT1XjmT12XjmTTπ∞∞−Ω−Ωδ−∞−∞∞∞−Ω−∞=−∞∞∞−Ω−Ω=−∞−∞∞=−∞∞=−∞Ω=====Ω−Ωπ=Ω−∫∫∑∫∑∫∑∑也可利用卷积定理证明：采样定理的证明aˆx(t)x(t)p(t)δ=[]()[]()aˆX(j)FTx(t)FTp(t)/2δΩ=∗π2π/T2π/T=Ωs|Xa(jW)|−ΩhΩh12π/T=Ωsˆ|X(j)|Ω1/TFT[pδ(t)]信号采样后频谱成周期；防止混叠的采样条件是：hsΩ≥Ω211/30脉冲采样？1/ττpδ(t)2π/T2π/T=ΩsFT[pδ(t)]ˆ|X(j)|Ω1/T12/30折叠频率与奈奎斯特频率1、折叠频率是相对于采样率而言的：给定任意一个采样率Ωs，存在一个折叠频率，其大小为Ω0=Ωs/22、信号中最高频率Ωh为奈奎斯特频率理论上能够再恢复出原信号的最小频率成为奈奎斯特采样率，即2Ωh13/30连续信号恢复H(j)ΩTa|X(j)|Ω2π/T=Ωsˆ|X(j)|Ω1/TΏΏΏ时域内插：interpolationreconstruction14/30采样内插公式[][][][]ss/2jtjta/2ss1Th(t)H(j)eded22sint/2sint/Tt/2t/T∞ΩΩΩ−∞−Ω=ΩΩ=ΩππΩπ==Ωπ∫∫考虑理想低通滤波器，其单位脉冲响应为：则根据卷积公式，滤波器的输出为：采样内插公式的推导aˆy(t)x(g)h(tg)dg∞−∞=−∫aaaˆˆX(j)X(j)H(j)x(t)x(t)h(t)Ω=ΩΩ⇔=∗H(j)ΩT−Ωs/2Ωs/2采样内插公式的推导aanaanaanay(t)x(g)(gnT)h(tg)dgx(g)(gnT)h(tg)dgx(nT)h(tnT)x(t)∞∞=−∞−∞∞∞=−∞−∞∞=−∞=δ−−=δ−−=−=∑∫∑∫∑asin(tnT)Th(tnT)sinc(tnT)T(tnT)Tπ−π−==−π−进一步得到：其中ah(tnT)−称为内插函数。16/30内插函数及波形nT(n+1)T(n−1)T(n+2)T(n−2)T(n+3)T(n−3)T[]sin(tnT)/T(tnT)/Tπ−π−h(t)noncausalnTnT0内插过程图示reconstructionprocessnoncausal*小结频域上2π/T=Ωsˆ|X(j)|Ω1/T|Xa(jW)|−ΩhΩh1时域上t[]sint/Tt/Tππ××∗==20/30staircasereconstructor:阶梯恢复采样信号如何变成阶梯信号？h(t)TT阶梯成形滤波的频率响应sin(fT)jfTfT|H(f)Te|π−ππ=fT0fs2fs−fs−2fsfs/2−fs/2idealreconstructor4dBcausal21/30staircasereconstructor:阶梯恢复H(jΩ)T2π/T=Ωsˆ|X(j)|Ω1/TΏΏΏa|X(j)|Ω22/30§2-2离散时间信号的表示及运算规则1、公式法2、集合法3、单位取样序列的移位加权表示法4、图示法0.05nx(n)ecos(0.2n)|n:integer−=x(n){1,0.9323,0.8334,0.7104,...}=mx(n)x(m)(nm)∞=−∞=δ−∑1,nm(nm)0,nm=δ−=≠nx(n)一、离散时间信号的表示23/30§2-2离散时间信号的表示及运算规则二、序列的运算及符号表示)()()(nnynxω=•)()()(nnynxω=±（标乘）)()(nnxaω=•)()()(21nnnxωω==（分支）)()(0nnnxω=−（移位/延迟）移位算子BeijingInstituteofTechnology24/30§2-2离散时间信号的表示及运算规则1n0(n)0n0=δ=≠k0u(n)(nk)(n)u(n)u(n1)∞==δ−δ=−−∑1、单位取样序列2、单位阶跃序列1n0u(n)0n0≥=三、常用典型序列25/30§2-2离散时间信号的表示及运算规则N10nN1R(n)0n0,nN≤=−=≥NR(n)u(n)u(nN)=−−3、矩形序列4、正弦序列x(n)sin(n)=ωn012−2−1RN(n)1N−1sin(n)ωn1tnTsin(t)sinT(nsin(n=Ω==Ωω))Tω=Ω模拟频率数字频率ωΩ26/30§2-2离散时间信号的表示及运算规则nan0x(n)0n0≥=5、实指数序列n012−2−1x(n)10(j)nn00x(n)ee[cos(n)jsin(n)]σ+ω==ω+ωσ6、复指数序列27/30序列的周期性正弦序列一定是周期序列吗？00000000000x(n)asin(n)x(nN)asin[(nN)]asin[nN]asin(n)aintsin[nN]N2k(N,k:)TN2k2NTTN2kkgerTTe=ω=+=ω+=ω+ω⇔ω=ω+ω⇒ω=π⇒Ω=ππ⇒=π⇒=整周期取样所得正弦序列具有周期性0sin(n)ωTT0一、定义：n,x(n)x(nN)∀=+二、例：Tω=Ω002/TΩ=π28/30§2-3离散时间线性非时变系统一、时域描述∑∑+∞−∞=+∞−∞=−=−=kkknxkhknhkxnynh)()()()()(:)(∞∑+∞−∞=knh)(:稳定性00,)(:=nnh因果性BeijingInstituteofTechnology（单位取样响应，单位冲击响应，系统传递函数）∑∑==−=−MkkNkkknxbknyanxny00)()(:)(~)(（差分方程）29/30§2-3离散时间线性非时变系统二、频域描述频率响应∑+∞−∞=−→=nnjjenheHωω)()(∫−=ππωωωπdeeHnhnjj)(21)()()()2(πωω+=jjeHeHarg[()]00()()()()jMjrjrjjjHerNjjkkkbeYeHeHeeXeaeωωωωωωω−=−====∑∑BeijingInstituteofTechnology振幅特性相位特性（h(n)的傅里叶变换）30/30§2-4有关序列和系统的一些概念一、有关序列的一些概念)()(*nxnxee−=共轭对称：)()(*nxnxoo−−=共轭反对称：)]()([21)(*nxnxnxo−−=△()()()eoxnxnxn=+则任意序列)]()([21)(,)(*nxnxnxnxe−+=∀△令周期→+=NNnxnx)()(周期序列：BeijingInstituteofTechnology§2-7Z变换一、Z变换的定义()()nnjXzxnzzreω∞−=−∞==⋅∑z是一个复变量()()()()(){}njnjnnnnXzxnrexnreFxnrωω∞∞−−−−=−∞=−∞⇒=⋅=⋅=∑∑Z变换是离散时间信号和系统的复频域变换，是序列的傅里叶变换推广，把不绝对可和的信号展成指数序列的求和形式。§2-7Z变换二、收敛域(ROCRegionofConvergence)()()()ZZzznnnnxxxnxnzxnzRzR∞−=−∞∞−=−∞−+∞∑∑定义：使某一序列的变换级数收敛的平面上所有值的集合。收敛条件：一般幂级数收敛域为平面上某个环形区域：收敛域与零极点关系：收敛域以极点限定边界。33/30§2-7Z变换三、序列特性与收敛域1.有限长序列2.右边序列3.左边序列4.双边序列例：求单位取样序列的z变换。解：单位取样序列是有限长序列的特例，所以其ZT为：收敛域为：即是整个Z平面。()nδ021==NN[]()0δ()δ11nnnnZnnzz+∞−−==−∞==×=∑（1）有限序列∞≤≤z0（2）右边序列其ZT为收敛域为：如右图所示1()()0xnnNxnn≥=，，　为其他值∑∞=−=1)()(NnnznxzXxzR−ImjRe收敛域xR−Z平面当，该序列为因果序列。其ZT的收敛域为。当，收敛域为。01≥NxRz−≤∞10NxRz−∞（3）左边序列其ZT为：收敛域为：2()()0xnnNxnn≤=，，　为其他值∑−∞=−=2)()(NnnznxzXxzR+Re收敛域Z平面xR+jIm特例：如果左边序列的，则称该序列为逆因果序列，其收敛域为：当，收敛域为02≤N0xzR+≤20N0xzR+（4）双边序列双边序列是从一直延伸到的序列，其可被看做是一个右边序列和一个左边序列的和。因此它的ZT为当，收敛域为。当，无收敛域。和分别左边序列和右边序列的ZT。n∞−∞+1012()()()()()()nnnnnnXzxnzxnzxnzXzXz+∞−+∞−−−=−∞=−∞===+=+∑∑∑)(1zX)(2zXxzR−xzR+xxRR−+xxRzR−+xxRR−+§2-9逆Z变换1、留数围线积分法2、