第二章连续时间域分析

信号与系统分析电子教案（第二版）12.3系统的冲激响应描述2.4卷积2.5卷积性质第二章连续时间域分析2.1基本信号2.2系统的微分方程描述电子教案目录信号与系统分析电子教案（第二版）22.1基本信号1.正弦信号2.复指数信号3.阶跃信号4.冲激信号5.冲激偶信号信号与系统分析电子教案（第二版）31.正弦信号A为振幅，θ为初相，ω为振荡角频率，周期T和频率f分别为2.1基本信号1.正弦信号()cos()cos()sin()xtAtatbt21,2TfT正弦信号的定义注意：正弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号，具有同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。信号与系统分析电子教案（第二版）42.复指数信号cos()sin()(1)cos()sin()(1)jjejjejj欧拉公式一般形式的复指数信号定义为()()tjtjtxtceececos()0.5()Re[]sin()0.5()Im[]jjjjjjeeeeee因此注意：虚部ω决定信号的振荡频率，而实部σ决定了信号振幅的变化，σ0时则是增幅振荡，而σ0时减幅振荡。2.1基本信号2.复指数信号)cos(]Re[teeettjt信号与系统分析电子教案（第二版）5负载K+-3.阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）2.1基本信号3.阶跃信号信号与系统分析电子教案（第二版）61Ott01tO(t)(t-t0)1Ott01tO(t)(t-t0)0010)(tttε00010)(ttttttε（2）阶跃信号的数学描述单位阶跃函数延迟时间的阶跃信号2.1基本信号3.阶跃信号信号与系统分析电子教案（第二版）7（3）阶跃信号的特性Otx(t)Otx(t)(t)函数t＞0部分的截取()(0)()()0(0)xttxtεtt①单边特性②加窗特性)()()(tεtεtp矩形脉冲()()xtpt加窗信号Otp(t)x(t)tOx(t)p(t)Otx(t)2.1基本信号3.阶跃信号信号与系统分析电子教案（第二版）8例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号)()]()([)()]()([)()()()]()()[()](1)[()(12312113121tttxtxttxtxtxttεtxttεtεtxtεtxtx13121tttxtt0tx0ttxx(t))()()(f(t)o2t12-1f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)2.1基本信号3.阶跃信号信号与系统分析电子教案（第二版）9（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号00()()d0()ttrtττtttt()()drttdttOt(t)2.1基本信号3.阶跃信号信号与系统分析电子教案（第二版）104.冲激信号x(t)tτ/2-τ/21/τΟx(t)tτ-τ1/τΟ000（1）冲激信号的物理背景冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。2.1基本信号4.冲激信号x(t)t1/τΟπ22(t)信号与系统分析电子教案（第二版）11注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述()d1()0(0tttt当时）)(,0)(1)()(0000ttttdttttt延迟单位冲激①δ(t)的狄拉克定义单位冲击函数一般冲激信号)(,0)()()(0000ttttKKdtttKttKO(1)t(t)OO(k)(1)tt0k(t)(t-t0)t2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）12②脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：)2t2(aaπ脉冲逼近：11d1π1d222atarctanatatttaa)t(taalima220π积分：极限：2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）13③频域积分定义法此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住。意义：冲激函数可用无限个频率的虚指数的“和”表示。deπ21jt因为：)2t2(aat-aπdeeπ21jdeπ21deeπ21jj0tt-aa)t(lim所以：deπ21jt)t(即：2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）14（3）冲激信号（函数）的性质00()()d10tttττtδ(t)tΟ(1)ε(t)t1Ο引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为)(t①冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数的积分为阶跃函数tttd)(d)(阶跃函数的微分为冲激函数0(t)t0(1)微分t122)(ˆt1t22)(ˆt2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）15（2）冲激函数的抽样性质000tttxtttx0000()()d()()d()xttttxttttxt二、冲激信号1.3阶跃信号和冲激信号txt0t0tx连续信号与相乘，相当于将冲激时刻的信号“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。即：txt0t0tx连续信号与相乘，相当于将冲激时刻的信号“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。即：连续信号与相乘再积分，等于冲激时刻的信号值，这就是抽样性质。txt0t0tx连续信号与相乘再积分，等于冲激时刻的信号值，这就是抽样性质。txt0t0tx信号与系统分析电子教案（第二版）16[]xnTn)(22)()4sin()()4sin(tttt?d)1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)()1(12t022其它,011,2ttε(t)例2.1.22.1基本信号4.冲激信号用冲激序列对连续信号抽样信号与系统分析电子教案（第二版）17③冲激函数的尺度变换性质)(1)(taat其中a为不等于0的实常数)(1)(00attatat推论)()(tt1a当取时，有t为偶函数所以)2(2)2(ttt0)(tt)()(e2)(e)(e2)(edd2222tttttttttt解：根据冲激函数的性质进行化简：例2.1.3)(),2(tttt2d[e()]dttt和化简2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）18例2.1.4x(t)423tt322x'(t)(-4)OOx(t)423tt322x'(t)(-4)OO)(tx)(tx写出右图所示信号的表达式，并求一阶导数解利用冲激函数的尺度变换性质和抽样性质，有：例2.1.5化简表达式2.1基本信号4.冲激信号信号与系统分析电子教案（第二版）195.单位冲激偶信号（1）定义：t122)(ˆttt(1/-/2/2O)(ˆt)(t单位冲激函数的导数为单位冲激偶函数dttdt)()(2.1基本信号5.冲激偶信号信号与系统分析电子教案（第二版）20（2）单位冲激偶性质①抽样性质：设为常规函数，其导数在t=t0处连续，则积分②积分性质：2.1基本信号5.冲激偶信号信号与系统分析电子教案（第二版）21③乘积性质：注意：④对称性：为奇对称函数由于为偶对称函数2.1基本信号5.冲激偶信号信号与系统分析电子教案（第二版）22LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称时域分析法。这种方法直观、物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。信号与系统分析电子教案（第二版）232.2系统的微分方程描述1.输入输出微分方程2.零输入响应与零状态响应信号与系统分析电子教案（第二版）24仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物理量的数学关系式称为系统的输入输出（I/O）方程.对实际系统的分析：首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型；其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所具有的数学关系；最后运用信号与系统理论进行分析.1.输入输出微分方程描述1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述信号与系统分析电子教案（第二版）25MkkMkMkMNkkNkNkNttxbttya00d)(dd)(d一般情况下，MN,N称为方程的阶数.本书着重研究信号与线性系统分析的一般方法.x(t)表示系统输入，y(t)表示输出，连续时间系统的I/O方程可表示为：一般连续时间系统的输入输出数学模型1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述信号与系统分析电子教案（第二版）26齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述信号与系统分析电子教案（第二版）27特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励x(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。信号与系统分析电子教案（第二版）281.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为)()(6)(5)(txtytyty求（1）当时的全解（2）当时的全解1)0(,2)0(;0,2)(yytetxt0)0(,1)0(;0,)(2yytetxt解：(1)特征方程为其特征根0652齐次解为ttheCeCty3221)(3,221由表2-2，当其特解为tetx2)(代入微分方程得解得k=1于是特解为ttttekekeke26)(5tpkety)(tpety)(全解为：其中待定系数C1,C2由初始条件确定得解得C1=3,C2=-2最后得全解为1132)0(,21)0(2121CCyCCytttpheeCeCtytyty3221)()()(0,23)(32teeetyttt信号与系统分析电子教案（第二版）291.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为)()(6)(5)(txtytyty求（1）当时的全解（2）当时的全解1)0(,2)0(;0,2)(yytetxt0)0(,1)0(;0,)(2yytetxt解：(2)齐次解同上全解为：代入初始条件，得解得C1=2,C2=-1最后得全解为1132)0(,21)0(2121CCyCCytttphteeCeCtytyty23221)()()(0,2)(232tteeetyttt当激励时，其指数与特征根之一相重，由表知其特解为tetx2)(代入微分方程得解得k=1于是特解为tpktety2)