第二章连续时间系统的时域分析

第二章连续时间系统的时域分析本章的主要讲授内容•1、微分方程的建立和求解•2、起始点的跳变——从0-到0+状态的转换•3、自由响应和强迫响应•4、零输入响应和零状态响应•5、冲激响应和阶跃响应•6、卷积•7、卷积的性质•8、用算子符号表示微分方程第一节引言一、连续时间系统分析方法连续时间系统连续时间信号输出数学模型输入——输出法或端口描述法输入激励信号（t的函数）连续时间信号输入输出响应信号（t的函数）高阶微分方程（t及t的导数）系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。二、时域分析法•时域法：不通过任何变换，直接求解系统的微分、积分方程。•系统的分析与计算全部在时域内进行。•时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。•目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典的方法重新得到广泛的关注和应用。三、时域分析法手段•时域分析法有两种：•一种经典法直接求解微分方程；•另一种是卷积法；即已知系统的单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积积分。1、经典法•经典法求微分方程：求齐次解和特解。•经典法着重说明物理意义。•建立自由响应和强迫响应、零输入响应和零状态响应概念。它使线性系统分析在理论上更完善，为解决实际问题带来方便。2、卷积法•卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响应仍要用经典法求得。•卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本方法。是近代计算分析系统的强有力工具。•卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它把变换域分析赋清晰的物理概念。3、算子符号法•微分方程的算子符号表示法：它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。第二节微分方程式的建立与求解一、微分方程的建立线性时不变系统数学模型建立线性的常系数微分方程具体系统物理模型也即：按照元件的约束特性及系统结构的约束特性常系数微分方程建立例2-1)(tvciLiRiRLC)(tisRLC并联电路如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压v(t)与激励源is(t)间的关系。解：把v(t)作为变量，根据元件的电压电流关系有：电阻：)(1)(tvRtiR电感：tLdvLti)(1)(电容：)()(tvdtdCtic)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS将上三式化简得：根据基尔霍夫电流定律有：)()()()(titititiSLRC例2-2如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度v(t)间的关系。解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限度内，拉力Ｆk与位移x成正比。设刚度系数为k，有dvtxt)()(tkdvktF)()(其中f为摩擦系数。刚体在光滑表面滑动，摩擦力Ｆf(t)与速度v(t)成正比。)()(tvftFfsFkmf机械位移系统kFfFmF运动物体的惯性力由牛顿第二定律决定：化简得：)()(tvdtdmtFmsFkmf机械位移系统)()()()(tFdvktvftvdtdmst)()()()(22tFdtdtkvtvdtdftvdtdms此为机械位移系统的微分方程。整个系统力的平衡由达朗贝尔原理确定：01NiiF作业P81，2-1二、微分方程的求解1.微分方程表达式()()etrt设n阶复杂系统激励信号为，响应信号为1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdrtdrtdrtCCCCrtdtdtdtdetdetdetEEEEetdtdtdt其n阶微分方程为２、微分方程的经典法全解形式:e(t)注自由项为代入方程右端化简后的函数式则由时域经典法求解可得其完全解为)(tr)(trh)(trp其中齐次解即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。由方程右端为零构成的齐次方程而定；)(trh其中特解)(trp根据方程右端激励构成的“自由项”而定。101CCC0nnn即特征方程为３、齐次方程的求解0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCnnnnnn齐次方程为：齐次方程的解为：tAetr)(tAe或函数的线性组合。将其解代入齐次方程，并化简：解得此方程的n个根：n,,,21称为微分方程的特征根。（1）特征根的求解（2）特征根的情况分析nititntthineAeAeAeAtr12121)(（１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为则相应于1的k阶重根，有k项：kitikitkkkketAeAtAtAtA11221111)()(其中常数A1,A2,…,An由初始条件决定。（２）特征根（有重根）的情况下，如1是方程的k阶重根，即：1210122110)()(kniiknnnnnCCCCCC例2-3)()(12)(16)(7)(2233tetrtrdtdtrdtdtrdtd求如下所示的微分方程的齐次解。ttheAeAtAtr33221)()(对应的齐次解为：特征根：3),(221重根解：系统的特征方程为327161200)3()2(2因式分解：其中A1，A2，A3为待定系数。4、微分方程的特解•微分方程的特解rp(t)的函数形式与激励信号的形式有关。•将激励e(t)代入方程式的右端，化简后右端函数式称为“自由项”。•通过观察自由项的函数形式，试选特解函数式。•代入方程，求得特解函数式中的待定系数。即求出特解rp(t)。（1）求特解的步骤（2）几种典型激励信号对应特解的形式激励函数e(t)响应函数r(t)的特解E（常数）B（常数）cos(wt)sin(wt)pt1121ppppBtBtBtBtetBe)sin()cos(21wtBwtB)cos(wtettp)sin(wtettp)sin()()cos()(1111wteDtDtDwteBtBtBtppptppp•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。例子2-4给定微分方程式)()()(3)(2)(22tedttdetrtrdtdtrdtd;)()1(2tte如果已知：;)()2(tete分别求两种情况下此方程的特解。3221)(BtBtBtrp为使等式两端平衡，设特解函数式：2)(ttett22代入方程右端，得到：解:(1)将321,,BBB为待定系数，将此式代入方程：ttBBBtBBtB2)322()34(323212121等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：032223413321211BBBBBB2710,92,31321BBB联立解得：27109231)(2tttrp特解为：tpBetr)(tete)(时，设特解为：解:(2)当B为待定系数，将此式代入方程：3132BeeBeBeBettttt特解：tpetr31)(系统方程的完全解：titipheeAtrtrtri31)()()(21为待定系数，由边界条件决定。iA第三节起始点的跳变－从0-到0+状态的转换一、响应区间•在系统分析中，定义：•响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。•一般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：t0二、起始状态•系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：•称为系统的起始状态，简称0-状态.)0(,)0('''),0(''),0('),0(11rdtdrrrrnn•起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。•由于受激励的影响，这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化。•系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。三、初始条件•确定系统完全响应：)0(,)0('''),0(''),0('),0(11rdtdrrrrnn•通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励信号情况求出0+的状态。•初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi式中为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。iA0,C(0)(,00)(0)(0)(0)(0)cLccLLuiuiiLu定定：储能元件的储能情况或状态当无冲激电流或阶跃电压强迫作用于时或当无冲激电压或阶跃电流强迫作用实际电路的初始条件于时或状态00t决定一般系统：微分方程右端自由项函数式中有无状态的初始条（）及状态件其导数有无跳变四、初始条件的求取五、冲激函数匹配法•冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。•系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。•如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即等等或)0(')0(')0()0(rrrr•冲激函数匹配法步骤：函数只匹配(t)及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。•（1）先从最高阶项开始匹配；匹配从方程左端r(k)(t)的最高阶项开始，首先使方程右端函数最高阶次项得到匹配。•（2）最高阶项匹配好后对低阶项的影响；每次匹配方程低阶函数项时，如果方程左端所有同阶次函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端r(k)(t)最高阶项中补偿。•（3）匹配低阶项。已匹配好的高阶次函数项系数不变。'()33())(drtrtdtt设某系统方程(0)(0)9rr'()13drtdt（）法：由方程平衡知必含()3()rtt含()9()drttdt方程平衡还含例子9)0()0(brr399abc由方程平衡求得，，则代入方程得)('3)()()()3()('ttucbtbata()'()()()()()()drtatbtcutdtrtatbut(2)法：可设举例2－５：解：(0)t如图所示电路，t0时开关S处于1位置且达稳态，t=0时开关S由1位置转向2位置。建立i(t)微分方程并求解。)()()()()()(21tiRdttdiLtvtetvtiRLLcc列回路方程11RVte4)(Vte2)(12FC1)(ticHL41)(tiL232R)(tis)()()(tidttdvCtiLc列结点方程)(4)(6)(e)(10)(7)()(2222tedttdedttdtidttdidttidti的微分方程为整理得212710025其特征方程为特征根为，eetthAAti5221)(得齐次解为58)()(164)(e0pptiBtiVtt，代入方程得可设特解为，即方程右端自由项为时25128()()()5tthpitititAAee得完全解为12(0)40(0)(0)5(0)(10LeiiRRdiSdt系统的状态为在位且稳态）11RVte4)(Vte2)(12FC1)(ticHL41)(tiL232R)(tis求待定系数。因为2)0()0(1)0(254514)0()0(1)0(1dtdvdtdeRdtdiiiCdtdvcLc