数列的概念与通项公式

第1页数列的概念与通项公式【基本概念】1．数列、数列的项按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．2．数列的通项公式数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列与函数的关系数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．4．数列可用图象来表示在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于第一象限、第四象限或x轴的正半轴.5．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an＝f(n)都是数列的一种表示方法，可求出数列中任意一项递推公式已知a1及相邻项间的关系式【经典例题】1.数列的有关概念与分类例1已知下列数列：（1）2019,2019,2019,2019；（2）0，12，23，…，n－1n，…；（3）1，12，14，…，12n－1，…；（4）1，－23，35，…，－n－1·n2n－1，…；（5）1,0，－1，…，sinnπ2，….第2页其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，摆动数列是_______，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)2.观察法求数列的通项公式例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）11×2，－12×3，13×4，－14×5；（2）22－12，32－13，42－14，52－15；（3）112，223，334，445；（4）9，99，999，9999.3.数列通项公式的应用例3（1）已知数列{an}的通项公式为an＝n2n2＋1，试判断0.7是不是数列{an}中的一项？若是，是第几项？（2）已知数列{an}的通项公式为an＝3－2cosnπ2.求证：am＋4＝am.4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式例4根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．（1）a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)（2）a1＝1，an＋1＝an＋ann＋1.（3）a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)【总结提升】1．数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．2．数列与函数的关系对任一数列{an}，每一项的序号n与这一项an的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….3．数列的表示法从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，第3页因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．4．通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.5．如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．