《简单的三角恒等变换》课件

3.2简单的三角恒等变换（一）1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式；2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换；3.通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想.复习巩固1.两角和差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角正弦、余弦、正切公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin2122tantantancos22与有什么关系？那么能用的三角函数表示出来吗？222cossin,cos,tan222反之，能用表示吗？2221cossin,cos,tan.222例试以表示2解：是的二倍，二倍角公式的变形22cos12sin.21cos2sin=.22即222cos2cos121cos2cos.21cos2tan=.21cos2由，得即21cos2sin=22，21cos2cos.2公式说明:从左到右降幂扩角，从右到左升幂缩角.也称为降幂公式.1cos2sin,221cos2cos,221cos2tan,21cos22例1的结果还可以表示为：并称之为半角公式.符号由所在象限决定.思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．42sin,sin,cos,tan52222例已知且，试求的值.cos先求的值，再利用倍角公式的变形公式求半角的三分析：角函数值.24sin,523cos1sin.5.422解：，21cos24sin.22525sin.2521cos21cos.2255cos.25sin2tan2.2cos2和角公式的变形1sincossinsin;2sinsin2sincos.22例3求证：（1）（2）这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？sinsincoscossinsinsincoscossin.证明：(1)，将以上两式的左右两边分别相加，得sinsin=2sincos.1sincossinsin.2即（２）由(1)得：sinsin2sincos,设,22那么把的值代入上式中得,sinsin2sincos.22三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.1.在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？++=+=.2222令，利用和差角公式展开，仿照（1）求解.2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？+换元的思想，如把看作，把看作，从而把含有，的三角函数式变换成，的三角函数式.221.1cos1cos2tancos2sin22tan1cos2tantan1cos21tan2下列各式恒成立的是（）.A.=B.C.D.B2.2sin1cos,tan21122已知则等于（）.A.2B.C.或不存在D.不存在C1+cos0tan2sinsincos2221cos0tan2coscoscos2222sincossin122.122coscos22cos当时，不存在；当时，解：1cos23..1tan2tan2xxx化简2222coscossin22sincos22xxxxx解：原式22cossin1sin2.2cos2xxxx21cos2sin=22，21cos2cos.21.降幂公式；2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用；4.换元思想.3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.3.2简单的三角恒等变换（二）xbxacossin)sin(xAy1.通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；sincosaxbxsin()yAx2.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题；3.灵活运用三角公式解决一些实际问题．复习巩固coscossinsin=cos)(coscossinsin=cos)(sincoscossin=sincoscossin=sin)(sin)(你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?31sincos;22(1)sincos;(2)cossinsincossin();666222(sincos)2(sinsincos)22442sin();4cossincos(3)axbx2222222222222222cos,sinsincos(sincos)cossinsincossincoscossinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabx22cosabx（或）sincosaxbx的变形及应用sincosaxbx(3)能化成一个角的三角函数值吗？例1.求函数的周期，最大值和最小值.sin3cosyxx分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.sin3cos132(sincos)22yxxxx解：2(sincoscossin)332sin().3xxx2T周期，最大值为2，最小值为-2.通过三角变换，我们把形如的函数转化为形如的函数，从而使问题得到简化.sincosyaxbxsin()yAx22()cos2sin,().fxxxfx例已知函数求的单调增区间1cos231()cos2cos2.222xfxxx解：+222,(),.2kxkkZfxkxkkZ当时，为增函数，即(),().2fxkkkZ函数的单调增区间为三角变换在化简，证明中的应用.cos10tan103.sin50例3化简sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50解：原式13sin10cos10222sin50sin(1060)sin(50)222.sin50sin50常见的三角变形技巧有①切割化弦；②“1”的变用；③统一角度，统一函数，统一形式等等．三角变换在实际问题中的应用例4.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.3COPOABPCDQ分析：（1）找出与之间的函数关系；S（2）由得出的函数关系求最大值.cos,sin.tan603.RtOBCOBBCDARtOADOA解：在中，在中，333sin,3333cossin.3OADABCABOBOA2,3(cossin)sin33sincossin3ABCDSSABBC设矩形的面积为则13sin2(1cos2)261313(sin2cos2)226313sin(2).66350,2.36662+==626133=.6633=.66最大由得当，即时，因此,时，矩形的面积最大，最大面积为SABCD221.()cos23sincossin2fxxxxx函数的最小正周期是（）.A.B.C.2D.4()3sin2cos22sin(2).62.2fxxxxT解析：B22.sin23sincos3cos2(,).632求函数在区间上的值域yxxxx1cos21cos23sin232223sin2cos242sin(2)4.6xxyxxxx解：=5,2.63666121.36.2636.xxxy值域为，2cos10sin203..sin70求值：2cos(3020)sin20cos202(cos30cos20sin30sin20)sin20cos203cos203.cos20解：原式4.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积的值．PQRSO分析：连结OP,设用角表示面积.,POSPQRSO,coscos,sinsin,POSOSOPPSOA解:连结OP,设则22sincossin2.=1.4PORSsOSPSs矩形的面积为当时，最大，最大值为1.sincossin();2.yaxbxyAx形如的函数化成形式求解,体现化归思想用函数法求平面图形面积的最大或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积表示为这个角的函数，转化为三角函数的最值问题.