第七讲-微分运动与雅克比矩阵.

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02第3章机器人运动学3.1机器人的位姿描述3.2齐次变换及运算3.3机器人运动学方程3.4微分运动与雅克比矩阵山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵3.4.1概述机器人的微分运动是研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化之间的关系。机器人关节变量的微小变化dθ（即微分）除以时间的微小变化dt，就是机器人关节的速度：v=dθ/dt。因此，本小节研究与机器人速度相关的计算，包括：关节速度、杆件速度和手部速度，以及关节的速度与其手部在笛卡尔空间中的速度之间的关系。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵两类问题：1、已知机器人各关节的速度时，求机器人手部在笛卡尔空间的速度。2、已知机器人手部在笛卡尔空间的速度时，求机器人各关节的速度。应用：机器人控制、误差分析、动力学分析等。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵例：一个有两个转动关节的平面机械手，如图；杆长分别为l1和l2，杆2的端点为M，关节变量为θ1和θ2，试求M速度与关节速度的关系。解：建立齐次变换10000100sin0)cos()sin(cos0)sin()cos(11212111212102llM山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵点M在杆件坐标系中的齐次坐标（l2,0,0,1），将点M在基座标系中表示，有：10010202lMyxmm即：)sin(sin)cos(cos2121121211llyllxmm2212121211122121212111)(cos)(coscos)(in-)(in-in-lllyslslslxmm求导的：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵写成矩阵形式为：212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllyxmm)cos()cos(cos)sin()sin(sinJq,qJx212212112122121121llllll其中：简写为：称J为雅克比矩阵，它表示末端执行器的速度与关节速度的“广义传动比”。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4微分运动与雅克比矩阵又有：xq1J1J称为雅克比逆阵。从上例可看出，通常雅克比矩阵和雅克比逆阵不是常阵，而以关节变量有关。)sin(sin)cos(cos)sin()cos(J21211212112122121-llllll其中：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.2微分变换-----微小运动可以证明：绕任意轴k转动微量角dθ，可以用绕x、y、z三个坐标轴旋转δx、δy和δz来等价，我们知道：绕x轴旋转的微分变换矩阵为：1000010010000110000cossin00sincos00001lim),(sin0xxxxxRot1000010001000110000cos0sin00100sin0coslim),(sin0yyyyyRot绕y轴旋转的微分变换矩阵为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.2微分变换绕z轴旋转的微分变换矩阵为：100001000010011000010000cossin00sincoslim),(sin0zzzzzRot可以证明：上述三个微分旋转变换矩阵按任意顺序相乘，只要略去高阶微量，其结果均为：1000010101),(),(),(xyxzyzzyxzRotyRotxRot（1）山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.2微分变换我们知道：绕任意轴的转动的变换矩阵为：1000000),(cverskkskverskkskverskkskverskkcverskkskverskkskverskkskverskkcverskkkRotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxx它表示以k=(kx,ky,kz)为轴转动θ角度。当转角θ为微小量时，sinθ≈θ，cosθ≈1，versθ=1-cosθ≈0，可得：1000010101),(dkdkdkdkdkdkdkRotxyxzyz（2）山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.2微分变换比较（1）与（2）式，可知：只要保证：dkdkdkzzyyx,,x那么绕任意轴k的任何微转动变换，就相当于绕x,y,z轴按任意次序进行的三个微转动变换。另外，微分平移变换为：1000100010001,,transzyxzyxdddddd）（山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.2微分变换可以证明，连续微分平移变换的最终结果与变换的次序无关；同样，连续的微分转动变换与微分平移变换与变换的次序无关。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分-----dM设机器人运动链中某一杆件相对于机座坐标系的位姿为，它是一个4x4矩阵，其元素以q为单变量，即M=M(q)；经过微运动后，q变成q+dq，该杆件位姿变为，则位姿的微小变化为：MdMMdqdqdMdMniiidqqMdM1若位姿是若干个变量的函数，则：1、从微分运算的角度推导变换微分注意：矩阵的导数等于其各元素的导数。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分例1、已知2自由度机器人及其坐标系如图所示。若因杆件1下关节轴承装配或制造不当，使杆件1沿关节轴线有0.05单位的偏差，又由于两杆件的执行器运动不准确，旋转执行器使杆件1多转一个0.01rad的偏差角，移动执行器使杆件2移动了一个0.1单位的偏差距离。若杆件1的长度单位，试求当机器人关节变量取单位时，机器人手部位姿的偏差。10,9021d51l山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分解：采用第一坐标系，杆件参数为：1000100001000011000010001000100001000011000c0c2111111111211111111111111111120102ddslcsclscddsslsccsclsscscMMM1000010001111211111211dslcdcsclsdscidiθiliαi1d1θ15902d2000机器人手部的位姿为：两变量山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分M02中有三个变量，由：01.000000000001112111112111102clsdscslcdcsdM1090000000001.001.00005.00001.021l，),,(1210202ddMM山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分1.000000000000000112202csdddM900000000000001.0000105.000001000000000001102dddM000005.000000000000山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分机器人手部位姿的偏差为：22021102110202dddMdddMdMdM1090000005.00001.001.00005.00001.021l，山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分2、从坐标系变换的角度推导变换微分设{i}为基础坐标系，{j}为当前坐标系，两者之间的位姿关系为M0j,经过微分运动后变为Mij+dMij，即MijMij+dMij。机器人姿态的上述变化可以分解为微分平移运动和微分旋转运动的组合：),(dkRot),,(zyxdddTrans山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分从位姿Mij,运动到位姿Mij+dMij，可以通过两种方式实现：即绝对微运动或相对微运动，即：jijijiijijiiijjjijijiiijijMMIRotTransMMIRotTransdMRotTransMMRotTransdMM)()()()()()(()()()()jjIRotTransIRotTransjjjiii()()()()其中：称为变换微分算子（或矩阵）。MdMM+dM绝运动对相对运动山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分1）、变换微分算子⊿变换微分算子的形式为：它包含微分平移和微分旋转两个变换。微分平移变换矩阵与一般的平移变换矩阵一样，为：1000100010001),0,0()0,,0()0,0,(),,(zyxzyxzyxddddTransdTransdTransdddTransIRotTrans()()山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分综上所述，变换微分算子即为：IzRotyRotxRotdddtranszyxzyx)],(),(),(),,([0000000zxyyxzxyzddd与Rot(k,dθ)矩阵中的元素比较可知：dkdkdkzzyyxx因此，⊿可看成由δ和d两个矢量组成的，其中，称为微分旋转矢量，而称为微分平移矢量。kδjδiδzyxkdjdidzyxd山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分例：考虑只存在微转动的情况，假设绕Z轴做微小转动，如图。100001000010011000010000cossin00sincoslim),(sin0zzzzzRot0000000000000010000100001001zzzzI有：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3变换微分我们将δ和d合称为微分运动矢量，用D表示为：