文章编号:109-4881(2001)04-0055-04关于非线性计量经济模型的参数估计李焯章(武汉工业学院管理科学系,湖北武汉430022)摘 要:多元线性计量经济模型Y=Xβ+ε可以用普通最小二乘法(OLS)、加权最小二乘法(WLS)或广义最小二乘法(GLS)等方法去估计其参数,有一些类型的非线性计量经济模型可采用变量代换、对数变换等方法将其转换成线性模型再去估计参数,本文将讨论一类非线性计量经济模型Y=h(X,β)+ε,在β的某一特定值处先求h(X,β)的Taylor展开式,然后估计其参数的方法;以及在非线性计量经济模型中不仅在模型表达式右边出现参数,而且在模型表达式左边也出现参数的情况,形如g(Y,θ)=h(X,β)+ε的模型进行讨论,特别以广义科比—道格拉斯生产函数模型 lnY+θY=lnγ+α(1-δ)lnK+αδlnL+ε为例说明之关键词:非线性计量经济模型;最小二乘估计量;最大似然估计量中图分类号:F224 文标识码:A 对于多元线性计量经济模型Y=Xβ+ε,可以用普通最小二乘法(OLS),加权最小二乘法(WLS)或广义最小二乘法(GLS)等方法去估计其参数,而且有许多种类的非线性计量经济模型可以采用变量代换将其转换为线性模型,如:Y=∑Ki=0αiXi+ε(1)也可采用对数变换的方法将其转换为线性模型,如科比—道格拉斯生产函数模型Y=AKβ1Lβ2ε(2)也可在某一特定点处求模型Taylor展开式,再进行变量代换转换为线性模型,如不变替代弹性生产函数模型Y=A[δK-ζ+(1-δ)L-ζ]-m/ζ(3)将其取对数后,在ζ=0处求其Laylor展开式,再进行变量代换,便可得到线性模型。尽管我们可采用多种方法将多种类型的非线性模型经过变换后变为线性模型讨论,但是仍有许多种类的模型还未包含在其内,例如策尔纳和雷万卡提出的广义科比—道格拉斯生产函数模型lnY+θY=lnγ+α(1-δ)lnK+αδlnL+ε(4)就是这些模型中的一个,该模型是内在非线性。因为在古典计量经济模型中,如果k个参数β1,β2……βk,能够一一对应地写成关于k个基本参数θ1、θ2……θk的k个可能非线性函数,则模型才称为关于θ1、θ2……,θk是内在线性的。在本文中我们将对一类内在非线性计量经济模型进行讨论。1 利用非线性计量经济模型的Taylor展开式估计其参数假定计量经济模型的一般形式是Yi=h(Xi,β)+εi(5)当h(Xi,β)是线性形式时,模型(5)就是一个线性计量经济模型,否则就称为非线性计量经济模型。以下两个计量经济模型Y=β1+β2eβ3x+ε(6)与Y=β1x1β2x2β3eε(7)虽然都是非线性的,但是它们之间也有差别,如对模型(7)两边同时取对数,它就变为线性形式,而对模型(6)就无法做到。554期 武汉工业学院学报Journal of Wuhan Polytechnic University收稿日期:2001-04-18作者简介:李焯章(1944-),男,湖北省武汉市人,教授。当我们用最小二乘法去估计模型(6)的参数时,使离差平方和S(β)=∑iε2i=∑i[Yi-h(Xi,β)]2(8)取最小值的参数值β将是β的最大似然估计量和非线性最小二乘估计量,而使离差平方和S(β)取最小值的一阶偏导条件是S(β)β=-2∑i[Yi-h(Xi,β)]h(Xi,β)β=0(9)在线性计量经济学模型中式(9)将是一个线性正则方程组,而对于模型(6)它的正则方程组为:S(β)β1=-2∑i[Yi-β1-β2eβ3xi]=0S(β)β2=-2∑i[Yi-β1-β2eβ3xi]eβ33xi=0S(β)β3=-2∑i[Yi-β1-β2eβ3xi]β2eβ3xi=0(10)方程组(10)是一个非线性方程组,而且没有一个确定的解。根据上述分析,在这里我们可以给非线性计量经济模型下一个初步定义:若计量经济模型(5)其离差平方和S(β)取最小值的一阶偏导条件(9)是关于参数的非线性方程组,那么我们称计量经济模型(5)为非线性的。在这里,我们定义非线性计量模型是根据估计参数所需要的技术来定义的,而不是根据计量经济模型的形式,当然,我们还可拓宽这个定义,使其包括最小二乘法之外的一些方法。在非线性计量经济模型(5)中,将h(X,β)在参数β的一个特定值β0处用一阶Taylor级数近似表示,即h(X,β)≈h(X,βo)-∑kh(X,β)βkβ=βo(βk-βok) =(X,βo)-∑kβ0kh(X,β)βkβ=βo +∑kβ0kh(X,β)βkβ=βo令x0k=h(X,β0)β0k,k=1,……,m则 h(X,β)≈[h0-∑kx0kβ0k]+∑kx0kβk=h0-x0β0+x0β(11)其中 h0=h(X,β0),x0=(x01,…,x0k,…x0m) =[h(X,β0)β01,…,h(X,β0)β0k,…,h(X,β0)β0m]于是Y≈h0-x0β0+x0β+ε(12)从而得到回归模型Y=Y-h0+x0β0=x0β+ε(13)因此,已知β0的值时,可以计算Y0和X0,并可用最小二乘法估计其参数。在古典线性计量经济模型中,我们假定随机项是服从正态分布的(当样本容量n足够大时,可以不必单独提出这个要求),为了得到渐近正态性,我们假设样本矩阵(1/n)X′X收敛于一个正定矩阵Q,对于非线性计量经济模型,我们可以类似地假定plim[(1/n)X′X]=Q(14)其中Q是正定矩阵, X=h(X1,β0)β01,……,h(X1,β0)β0t………………h(Xi,β0)β01,……,h(Xi,β0)β0t………………h(Xn,β0)β01,……,h(Xn,β0)β0t ,……,h(X1,β0)β0m……,……,h(Xi,β0)β0m……,……,h(Xi,β0)β0mn*m56武汉工业学院学报 2001年 X′=h(X1,β0)β01,……,h(Xi,β0)β0l………………h(X1,β0)β0k,……,h(Xi,β0)β0k………………h(X1,β0)β0m,……,h(Xi,β0)β0m ,……,h(Xn,β0)β01……,……,h(Xn,β0)β0k……,……,h(Xn,β0)β0mm*nX′X=[(∑i[h(Xi,β0)/β0k][h(Xi,β0)β0t])kt]m×m是一个m阶方阵,根据式(14),我们可以得到非线性最小二乘估计量的渐近性。在上式中对于收敛于正定矩阵Q的条件还应附带回归量矩阵X的各列是线性无关的条件,这类似于线性计量经济模型中对解释变量是线性无关的要求,也才能保证(X′X)-1的存在。非线性最小二乘法的准则函数是:S(b)=∑i[Yi-h(Xi,b)]2=∑ie2i(15)其中b是使S(b)最小化的正则方程组g(b)=-2∑i[Yi-h(Xi,b)](h(Xi,b)/b)=0即g(b)=-2X′e(16)的解。σ2的一致估计为σ2=(1/n)∑i[Yi-h(Xi,b)]2(17)b~N[β,(σ2/n)Q-1](18)其中Q=Plim(X′X/n)(19)渐近协方差矩阵的样本估计是Est.Asy.Var(b)=σ2(X′X)-1R2=1-[∑ie2i/∑i(Yi-Yi)2](20)但是R2不一定在(0,1)范围内,它仍是一个有用的描述性度量。2 非线性计量经济模型左边因变量表达式中含有参数的参数估计以上对在模型的右边出现参数的非线性计量经济模型进行了讨论,而模型的左边在因变量的表达式中也可能出现参数的非线性情况,例如模型(4)广义生产函数模型就是一个例子,一般情况下,假定模型是g(Yi,θ)=h(Xi,β)+εi(21)它的一种估计参数的方法是使离差平方和S(θ,β)=∑i[g(Yi,θ)-h(Xi,β)]2(22)最小化对于这种类型模型求其最大似然估计量是比较有效的,若随机项εi服从正态分布,Yi的密度是f(Yi)=|εi/Yi|(2πσ2)-1/2e-[gˉ(Yi,θ)-h(Xi,β)]2/2σ2(23)雅可比行列式J(Yi,θ)=|εi/Yi||g(Yi,θ)/Yi|=Ji(24)其对数一似然函数 lnL=-(n/2)ln2π-(n/2)lnσ2+∑ilnJ(Yi,θ)-(1/2σ2)∑i[g(Yi,θ)-h(Xi,β)]2(25)在式(25)中,若没有雅可比行列式,则非线性最小二乘估计即是最大似然估计;如果雅可比行列式中包括θ,最小二乘法就不是最大似然法。其次,对于σ2,这个似然函数在本质上与更简单的非线性计量经济模型的似然函数相同,σ2的最大似然估计量是σ2=(1/n)∑i[g(Yi,θ)-h(Xi,β)]2 =(1/n)∑ei(26)未知参数的似然方程式是lnL/β=(1/σ2)∑iεi[h(Xi,β)/β]=0lnL/θ=∑i(1/Ji)|Ji/θ| -(1/σ2)∑iεi(g(Yi,θ)/θ)=0lnL/σ2=-(n/2σ2)+(1/2σ4)∑iε2i=0(27) 这些方程通常都是非线性的,一般用迭代法求解。其一种特殊情况是在模型中θ是单一参数,已知θ的一个特定值,利用非线性最小二乘法将lnL的574期 李焯章:关于非线性计量经济模型的参数估计表达式关于β最大化(如果h(X,β)是线性的,可以利用普通最小二乘法,使求解更容易)。对于所有的参数最大化L的一种方法是审查θ的值,找到一个与相关的β和σ2的最小二乘估计量使得L达到最大值的θ值。如果θ是一个参数向量,关于全部参数直接对L最大化是可行的,另外,无论最后得到的θ和β的估计值是多少,σ2的估计值根据上述式子给出可以得到集点对数似然。lnLC=∑ilnJ(Yi,θ)-(n/2)(1+ln2π)-(n/2)ln[(1/n)∑iε2i](28)它是θ和β的函数,将(28)式关于θ和β最大化,便可得到σ2的估计值。最大似然估计量的渐近协方差矩阵的估计可以通过对估计的信息矩阵求逆得到,第i个观测值的密度对数是lnLi=lnJi-(1/2)(ln2π+lnσ2)-(1/2σ2)[g(Yi,θ)-h(Xi,β)]2(29)lnLi关于未知参数的导数是Wi=lnLi/βlnLi/θlnLi/σ2 =(εi/σ2)(h(Xi,β)/β)(1/Ji)(Ji/θ)-(εi/σ2)(g(Yi,θ)/θ)(1/2σ2)[(ε2i/σ2)-1]利用Est.ASY.Var[MLE]=(∑iWiWi′)-1可以一致地估计最大似然估计量的协方差矩阵。3 广义科比—道格拉斯生产函数模型的参数估计前面已就在模型左边因变量表达式中含有参数的非线性计量经济模型的参数估计进行了讨论。作为一个例子,以下讨论广义科比—道格拉斯生产函数模型lnY+θY=lnγ+α(1-δ)lnK+αδlnL+ε从εi到Yi变换的雅可比行列式是εiYi=θ+1Yi=(1+θYi)Yi其对数似然函数是lnL=∑iln(1+θYi)-∑ilnYi-(n/2)ln2π-(n/2)lnσ2-(1/2σ2)∑iε2i其中εi=lnYi+θYi-β1-β2lnK-β3lnL这个模型的估计是显然的,对于θ的给定值,β和σ2可以通过普通最小二乘法得到估计值,为了估计全部参数,可以对θ进行0到1范围内的审查,与相应的β和σ2的最小二乘估计量一起,使得对数似然函数最大化的θ值给出想要的估计值。在这个非线性回归模型中,回归的斜率系数不是边际效应,可用E[Y]xj[h(X,β)xj]1g′(Y)得到相应的近似值。斜率系数的最大似然估计量通过lnY+θY对常数lnK和lnL的最小二乘回归得到。弹性可利用lnYlnxj[h(X,β)xj][xjYg′(Y)]来计算利用结果 xj[h(X,β)xj]=h(X,β)lnxj由h(X,β)=β1+β2lnK+β3lnL,这些导数是斜率系数β2和β3,为了计算Y的值,我们把lnK和lnL的均值插入右边得到lnY+θY的预测值,对于这个模型g′(Y)=(1/Y)+θ因此 lnYlnxj=βj1+θY可