高中数学-第三章3.5平面的法向量课件-湘教版选修2-1

3．5平面的法向量3.5课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.理解平面的法向量的定义，会求平面的法向量．2．能运用平面的法向量证明平行与垂直问题．课前自主学案温故夯基1．如果一条直线l与平面α内的______直线都垂直，那么就称l与平面α垂直．2．如果一条直线垂直于一个平面内两条______直线，那么这条直线就与这个平面垂直．3．在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影_______，那么它也和这条斜线______．所有相交垂直垂直知新益能1．平面的法向量与平面α_______的______向量称为α的法向量，平面的法向量可以代表平面的方向．2．空间中垂直关系的向量表示垂直非零空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______.设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_______.设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________.a⊥ba∥uu⊥v一个平面的法向量唯一吗？提示：不唯一．思考感悟课堂互动讲练平面的法向量的求解与判定考点突破若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量定义建立关于x，y，z的方程组：n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0，n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．例1已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量．【思路点拨】设n＝x，y，z→A、B、C的坐标→AB→，AC→的坐标→n·AB→＝0n·AC→＝0→方程组→x，y，z之间的关系→赋非零值→结论【解】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)，由题设得：n·AB→＝0n·AC→＝0，即x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0，解之得x＝2yz＝0，取y＝1，则x＝2.故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．【名师点评】任一平面的法向量有无数多个．自我挑战1已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的单位法向量．解：设单位法向量n＝(x，y，z)，∵AB→＝(－3,4,0)，AC→＝(－3,0,5)，∴n·AB→＝－3x＋4y＝0，n·AC→＝－3x＋5z＝0，x2＋y2＋z2＝1.解得n＝20769769，15769769，12769769，或n＝－20769769，－15769769，－12769769.用向量法证明线面垂直问题用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．(1)a∥n，则线面垂直．(2)在面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c.例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【思路点拨】证明线面垂直可以转化为线线垂直，也可以证直线的方向向量与平面的法向量平行．【证明】法一：设A1B1的中点为G，连接EG，FG，A1B.则FG∥A1D1，EG∥A1B.∵A1D1⊥平面AA1B1B.∴FG⊥平面AA1B1B.∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1，∴EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.法二：设AB→＝a，AD→＝c，AA1→＝b，则EF→＝EB1→＋B1F→＝12(BB1→＋B1D1→)＝12(AA1→＋BD→)＝12(AA1→＋AD→－AB→)＝12(－a＋b＋c)，∵AB1→＝AB→＋AA1→＝a＋b.∴EF→·AB1→＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.∴EF→⊥AB1→，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.法三：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴EF→＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)．AB1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC→＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而EF→·AB1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.法四：同法三得AB1→＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)．设面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则AB1→·n＝0，AC→·n＝0，即2y＋2z＝0－2x＋2y＝0取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)∵EF→＝－n，∴EF→∥n，∴EF⊥平面B1AC.【名师点评】(1)法一用传统的几何法证明，利用线面垂直的性质及判定，需添加辅助线．法二选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法三、法四建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．(2)几何的综合推理有时技巧性较强，而向量代数运算属程序化操作，规律性较强，但有时运算量大，两种处理方法各有优点，不能偏废．用空间向量证明面面垂直：(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．(2)证明两个平面的法向量互相垂直．用向量证明面面垂直问题例3在正棱锥PABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：(1)平面EFG⊥平面PBC；(2)EG⊥BC，PG⊥EG.【思路点拨】面面垂直可转化为线面垂直或两平面的法向量相互垂直来证明．【证明】(1)法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是PA→＝(3,0,0)，FG→＝(1,0,0)，故PA→＝3FG→，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.法二：同法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)，∴EF→＝(0，－1，－1)，EG→＝(1，－1，－1)．设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥EF→，n⊥EG→，∴y＋z＝0，x－y－z＝0，令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．显然PA→＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．这样n·PA→＝0，∴n⊥PA→，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)，∴EG→·PG→＝1－1＝0，EG→·BC→＝3－3＝0，∴EG⊥PG，EG⊥BC.【名师点评】证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．自我挑战2三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)，∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，∴AD→＝(1,1,0)，AA1→＝(0,0，3)，BC→＝(－2,2,0)．∵AD→·BC→＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，AA1→·BC→＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0，∴AD→⊥BC→，AA1→⊥BC→，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.法二：同法一建系后，得AA1→＝(0,0，3)，AD→＝(1,1,0)，BC→＝(－2,2,0)，CC1→＝(0，－1，3)．设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由n1·AA1→＝0n·AD→＝0，得3z1＝0x1＋y1＝0.令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0.∴n1＝(1，－1,0)．由n2·BC→＝0n2·CC1→＝0，得－2x2＋2y2＝0－y2＋3z2＝0.令y2＝1，则x2＝1，z2＝33，∴n2＝(1,1，33)．∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.1．方向向量的作用直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介．2．用向量证明空间垂直关系的方法方法感悟线线垂直设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只需证明a⊥b，即a·b＝0.线面垂直①设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则要证明l⊥α，只需证a∥u②转化为直线与平面内两相交直线垂直，尽而转化为证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直．设a，b是平面α内不共线向量，直线l的方向向量为l0，则l⊥α⇔l0⊥a且l0⊥b⇔a⊥l0＝b·l0＝0面面垂直①转化为证明线线垂直或线面垂直②证明两平面法向量互相垂直