第五章时间序列模型的分析(江南大学张荷观)

第五章时间序列模型的分析本章讨论时间序列的基本概念与相关模型,介绍这些模型的特点、参数估计方法和检验方法.第一节时间序列模型简介时间系列数据(timeseriesdata)是以时间顺序排列的数据序列，是经济学研究中的一种常见数据形式。图5-1给出了一个时间序列的基本例子(不同年份的GDP与财政收入的时间序列数据)。时间序列模型(timeseriesmodel)研究和分析时间序列数据的模型称为时间序列模型，时间序列方法已成为现代计量经济学的重要内容。时间序列模型按时间序列的特性，分为不同的种类。例如根据时间序列的平稳性，可分为平稳时间序列和非平稳时间序列；而根据时间序列中变量的相关性，又可分为自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型等。时间序列的基本模型(1)模型的函数形式；(2)滞后变量的个数；(3)误差项u的相关性。一个时间序列模型的设定中，应包括三个要素：),,,,,(121tttttuuyyfy(5-1)第二节平稳时间序列模型)(tyE2)(tyVar),(),(tskkstyyCovyyCovty当时间序列满足：(1)，即均值为常数；(2)，即方差为常数；(3)，即协方差与两个时间相距的长度有关，而与时间的具体位置无关。则称为平稳时间序列，或弱平稳序列或协方差平稳序列。当时间序列的所有统计性质都不会随时间而发生变化时，称为严格平稳。本章主要采用弱平稳定义。tsty时序图时序图通常由横轴表示时间，纵轴表示时间序列值。根据时序图可以直观地了解时间序列的一些基本分布特征。图5-1是中国GDP和财政收入的时序图。由于GDP和财政收入有明显的递增趋势,所以都不是平稳时间序列。平稳时间序列的意义传统的统计分析通常有如下的数据结构tymnnnmmyyyyyyyyy212221212111n21myyy21一般,时间序列的每个只取得1个观察值时,通常这样的数据是无法进行分析的。但由于序列的平稳性则可以有效地解决这一问题。例5-1一个人的健康指标会随饮食、休息等因素而变化。若每隔一段时间(如一个月)检查一次身体，则当时间序列是平稳时，就可以根据样本数据估计健康指标的均值、方差和协方差。白噪声时间序列(Whitenoisetimeseries)则称时间序列为白噪声序列，或纯随机序列。根据平稳时间序列的定义，白噪音序列是一个平稳时间序列。如果时间序列满足如下性质：tstCovVarEsttt,0),()3()()2(0)()1(2t一、移动平均过程(MA)1ttty其中和为常数，而随机干扰为白噪声。(5-3)式称为一阶移动平均过程，记为MA(1)。移动平均过程(movingaverageprocess，简称MA)是最基本的平稳时间序列模型，最简单的移动平均过程为(5-3))0(t由于时间序列为白噪音序列，则的均值、方差和协方差分别为MA(1)的统计性质tty1,01,0,)1())((),()1()()()()(222112211jjjEyyCovVyVEyEjtjtttjtttttttt(5-4)所以MA(1)是一个平稳时间序列，并可得相关系数1,01,10,1)()(),(2jjjyVaryVaryyCovjttjttj(5-5)q阶移动平均过程q阶移动平均过程记为MA(q)itqiitty1(5-6)其中和为常数。同样可得)0(qiqiiitqiittitqiittVaryVarEyE12211)1()()()()(q阶移动平均过程qjqjjEyyCovjqiijijqiiqiijtijtqiititjtt,01,)(0,)1())((),(2121211(5-7)即MA(q)的方差和协方差只与滞后期数q有关，从而MA(q)也是一个平稳时间序列。为了方便,今后记0)(,),(ryVarryyCovtjjtt无穷阶移动平均过程q阶移动平均过程可推广到无穷阶移动平均过程,记为MA(∞),当绝对收敛(绝对可加)或平方收敛(平方可加)，即则MA(∞)仍为平稳时间序列。002,jjjj(5-9)j二、自回归过程(AR)自回归模型(autoregressivemodel,简称AR)是讨论时间序列的现期与其滞后变量间相关性的模型。具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)titpiityy1(5-10)其中和为常数，为白噪声序列，且，即过去的序列值与干扰项无关。)0(pit)(tityEpi,,2,1,0一阶自回归模型tttyy1221,ttttyyLyLykttkyyLttyL)1(1最简单的自回归模型为一阶自回归过程，简记为AR(1):引进滞后算子L,即，一般。根据滞后算子，(5-11)可写为(5-11)AR模型并非都是平稳的，AR(1)平稳的充分条件是。(5-12)AR(1)的统计性质)(tyE2)(tyVar),(styyVar设AR(1)满足平稳条件，即而为白噪声序列。,仅与有关tts0),()3()()2()()1(2stttyyCovyVaryE1均值)()()(1ttttyEyEyE1)(tyE根据假定，由于于是2方差根据假定，有则由此即得AR(1)的平稳条件。2210)()()(ttttyVaryVaryVar220113协方差1jj22010jj对于AR(1)，协方差有如下递推公式于是而对于AR(1)，已知得221jj(5-14)AR(1)模型的相关图jjjttjttjyVaryVaryyCov0)()(),(7.0343.07.049.07.07.033221对于AR(1)模型,自相关系数例如，当时，则这表明对于平稳时间序列，相隔越远，则过去值对现期值得影响越小。图5-2给出了相应的自相关系数序列，称为相关图。平稳时间序列的自相关系数的衰减速度很快,而非平稳时间序列的衰减速度则较慢。(5-15)样本估计对于平稳时间序列,序列的均值为常数。表明这时的每个随机变量的均值都相等,即。从而成为的样本观察值,则的估计为tyttyE)(,1(tyt同样,可得协方差的估计为),,2nnttyny11ˆ而自相关系数的估计为jntjttjyyyyjn1))((1ˆnttjntjttjyyyyyy121)())((ˆ例1964–1999年我国纱年产量的数据如下,试给出纱年产量的自相关图。年份纱产量年份纱产量年份纱产量196497.01976196.01988465.71965130.01977223.01989476.71966156.51978238.21990462.61967135.21979263.51991460.81968137.71980292.61992501.81969180.51981317.01993501.51970205.21982335.41994489.51971190.01983327.01995542.31972188.61984321.91996512.21973196.71985353.51997559.81974180.31986397.81998542.01975210.81987436.81999567.0样本自相关图0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0012345678910滞后量自相关系数滞后量样本协方差样本自相关系数021741.1031.0000119869.6700.9139218336.9450.8434316679.6440.7672415119.8270.6955513234.7680.6087611822.3650.5438710355.4250.476388597.1710.395496977.2270.3209二阶自回归模型211二阶自回归模型记为AR(2)假定AR(2)为平稳序列，则即ttttyyy2211(5-16)212211)()(ttttyyEyE中心化模型)1(21ttttyyy)()(2211ttyzttttzzz2211jtz)()()()(2211jttjttjttjttzEzzEzzEzzE0,0)(jzEjtt0,)()()(22jEyEzEttttt由于AR(2)为平稳序列时，代入(5-16)记,则得中心化AR(2)模型两边同乘后求期望，得(5-17)根据AR(p)的基本假定AR(2)的方差与协方差021122221122120112221111222112221120)()()()()()()()()(tttttttttttttttzEzzEzzEzzEzEzzEzzEzzEzE)1)(1)(1()1(212122201,1,121221对上式分别取，得由(5-18)整理得方差从而可得AR(2)的平稳条件2,1,0j(5-18)特征方程(characteristicequation)ttttzzz22112211)(LLLAttzLA)(01221zz例如，对AR(2)的中心化模型记(5-17)(5-19)于是(5-17)可改写为把(5-19)中的L作为变量并用z表示，则称为AR(2)的特征方程。特征根判别上述用系数判别模型的平稳性方法称为平稳域判别,另一种方法则是特征根判别。例如，AR(2)平稳的条件是特征方程的根都落在单位圆之外，即i1,121其中。对平稳的AR模型，参数估计可直接采用OLS法，估计量是无偏和一致的。)2,1(1izii例ttttyyy2118.01.1118.0,128.11.118.0192.018.01.121221018.01.112zz检验AR(2)模型的平稳性。(1)由于根据平稳域判别，该模型时平稳的(2)由于特征方程的两个根分别为5和10/9=1.11，即两个根都大于1，从而根据特征根判别，该模型平稳。在实际应用中，模型参数是未知的,从而无法用上述方法判别模型的平稳性，下一节将讨论有关的统计方法。AR(p)模型阶数p的确定nknRSS2)ln(AIC(k)AR(p)模型阶数p通常可由偏自相关系数来选择，也可根据赤池信息准则(Akaikeinformationcriterion,简记AIC)来选择，在假设模型的阶数为k时计算其中RSS为残差平方和。AIC准则选择AIC(k)的最小值所对应的正整数k为AR(p)模型的阶数。(5-21)AR(2)的自相关系数方程据(5-18)0211212011201102012101211212111则得自相关系数方程2这个方程组也称为尤勒—沃克方程(yule-walkerequation),通过