第五章非平稳时间序列模型

第五章非平稳时间序列模型5.1ARIMA模型5.2季节模型5.3残差自回归模型5.4条件异方差模型引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数，并且它的协方差有时间上的不变性。但是许多经济领域产生的时间序列都是非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数的二阶矩，如非常数方差σt2，或同时具有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性变化)例1①美国1961年1月至1985年12月16—19岁女性失业人数的月度序列如图所示：显然，均值水平是随时间改变的.②美国1871年至1979年的年度烟草生产量序列如图所示：均值水平是随时间改变的，同时方差也随均值水平的增长而增长.③某地1987年至1996年某商品月销售量序列如图所示：该序列的季节特征是明显的，季节周期为12.※非平稳过程※ARIMA模型5.1ARIMA模型※ARIMA模型的建立※疏系数模型※非平稳性的检验一非平稳过程（一）平稳过程与非平稳过程的差异1、从统计属性看平稳时间序列具有如下特性：（1）具有常定均值，序列围绕在均值周围波动；（2）方差和自协方差具有时间不变性；（3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数的增加而衰减.非平稳时间序列不具有上述特性：（1）或者不具有常定的长期均值；（2）或者方差和自协方差不具有时间不变性；（3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶数的增加而衰减.考虑如下例子：当1时，序列ty平稳如果1，则序列的方差为：)()()(121ttttttyVaryVaryVar2121)(tVartt当t时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的),0(~,0201WNyyytttt2、从图像特征看（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性与周期性：序列的振动是短暂的，经过一段时间以后，振动的影响会消失，序列将会回到其长期均值水平；在不同时刻或时段，序列偏离均值的程度基本相同.非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期性.-3-2-10123102030405060708090100),0(~,)(2WNyattt-6-4-20246102030405060708090100-4-2024102030405060708090100),0(~,7.0)(21WNyybtttt),0(~,)(21WNyyctttt（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或阻尼正弦波）衰减或截尾.非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减，PACF一般呈截尾.3、从建模要求看平稳序列具有许多优良性质，一般可满足建模的各种要求，诸如参数估计、模型检验等，传统方法均能获得良好效果.非平稳序列，因不满足若干统计分析方法的基本假定，传统方法不再适用.（二）均值非平稳过程1、均值非平稳的表现（1）均值非平稳是指序列均值随时间的变化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈现某种时间趋势.（2）时间趋势依其内在属性，分为确定性时间趋势和随机性时间趋势.（3）对均值非平稳进行分析的首要工作是：由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相应的时间依赖现象.2、均值非平稳过程的描述（1）确定性趋势模型—刻画确定性时间趋势（2）随机趋势模型—刻画随机性时间趋势确定性趋势模型当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲线可用来描述这种现象。☆思路将非平稳过程的均值函数用一个时间的确定性函数来描述.☆模型表达式02()(1)()(),~(0,)()kjtttjtjiidtatZtBaBBaWNB其中，{}为平稳过程.＊数字特征0()(())()()0()().tttkjtttjjjEEBaBEaEZEt因为所以此时系数恒定不变因此，称均值的这种趋势为确定性趋势.为平稳过程的方差。综上，具有确定性趋势的其均值为确定性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。2)()(ttttVarVarVarZ2t}{t.,::,,1010模型来描述前面介绍的可以用程是一个零均值的平稳过其中趋势模型表示如下则原序列可用确定的有服从线性趋势若均值例如ARMAyytxtttttttttyttxtt22102210:,原序列可用下式表示对二次均值函数此外，均值函数还可能是指数函数、正弦—余弦波函数等，这些模型都可以通过标准的回归分析处理。处理方法是先拟合出μt的具体形式，然后对残差序列yt={xt－μt}按平稳过程进行分析和建模。☆趋势平稳过程若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画，则称此过程为趋势平稳过程.＊趋势平稳过程由确定性时间趋势所主导；＊对于趋势平稳过程，应选用退势的方法获得平稳过程；＊趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程；＊对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的；（旋转）＊对于趋势平稳过程，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。随机趋势模型随机趋势模型又称齐次非平ARMA模型。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对ARMA模型的性质作一回顾。.1)(1)(:)()(:),(221221为白噪声序列其中模型如下假设有一个tqqpttaBBBBBBBBaBxBqpARMA.,,0)(.0)(:,就是非平稳的么那的根不都在单位圆外如果根都在单位圆外的则必须有为满足平稳性txBBttddaBxBBBBBdB)()1)((:)1)(()(:,,0)(于是原模型可写为则可令而其它根都在单位圆外个根落在单位圆上恰有现假设.)()()(:,)1(.,运算后可变为平稳序列差分次程经过若干次可见一个齐次非平稳过则令称为齐次性的阶为齐次非平稳过程这时我们就称daBwBxBwdxtttdtt可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次非平稳序列又称单位根过程。☆思路从ARMA模型的参数不满足平稳性条件入手.例2对于过程从其参数的不同取值范围讨论过程的属性.1.ttttZZaa为一白噪声过程☆齐次非平稳过程（差分平稳过程）通过一次或多次差分即可转化为平稳过程的序列，差分次数即为齐次的阶数.例3考察过程有漂移项的随机游走过程.（随机游走）0100.ttttZZaa，为一白噪声过程（1）对过程进行一阶差分后，为平稳序列——称该过程为差分平稳过程；（2）辅助方程，令，得，有一单位根，该过程又称为单位根过程.（3）对不断向后迭代，可得()1BB()0B1BtZ0102,()ttjjtttatZtaEZtDZttDZ时，2,cov,0ktktkaZZtkk（4）自相关函数,kttktktttk20406080100400450500550600650700750800-80-60-40-20020100200300400500600700800随机趋势非平稳序列◆对于差分平稳过程，每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷，从而其均值毫无意义.◆服从趋势平稳的时间序列与服从差分平稳的时间序列在图形上非常相似.◆区分趋势平稳与差分平稳的主要方法——单位根检验法.-2002040608010203040506070809010000.70ttZtaZ-20020406080102030405060708090100100.70tttZZaZ051015202551015202530354045506080100120140160180400450500550600650700750800退势平稳序列差分平稳序列7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590Ln(Income)对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列.4681012145055606570758085909500Y中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列.平稳化方法确定性趋势的消除，可采取退势方法获得平稳过程。对于非确定趋势，由于它是一个慢慢的向上或向下漂移的过程，要判断这种序列的趋势是随机性还是确定性的十分困难，采取差分消除趋势，效果很好。（回忆查分运算、解释平稳化原因）二、非平稳性的检验（一）、通过时间序列的趋势图来判断（二）、通过自相关函数(ACF)判断（三）、单位根检验（一）通过时间序列的趋势图来判断这种方法通过观察时间序列的趋势图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。（二）通过自相关函数(ACF)判断平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性来判断时间序列是否为平稳序列。若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于所有短期的滞后来说，自相关系数大且为正，而且随着时滞k的增加而缓慢地下降。（三）单位根检验(Unitroottest)单位根检验•定义–通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性•方法–DF检验–ADF检验–PP检验DF检验DF检验是Dickey和Fuller（1976）提出的单位根检验方法。DF检验有三种形式：1、2、3、),0(WN~,21ttttyy),0(WN~,21ttttyy),0(WN~,21ttttyty第一种形式或原假设相当于认为序列有一个单位根，备则假设认为序列是一个平稳的一阶自回归序列。),0(WN~,21ttttyy1:,1:10HH0:,0:10HH),0(WN~,21ttttyy第二种形式或原假设相当于认为序列是一随机游走序列，而备则假设认为序列是一个带有漂移项平稳序列。0,1:,0,1:10HH),0(WN~,21ttttyy),0(WN~,21ttttyy0,0:,0,0:10HH第三种形式或原假设相当于认为序列是一个带有漂移项的随机游走序列，而备则假设认为序列是一个退势平稳序列。0,1:,0,1:10HH),0(WN~,21ttttyy0,0:,0,0:10HH),0(WN~,21ttttytyADF检验ADF检验亦称增广（Augmented）DF检验，是Dickey和Fuller提出的改进DF检验方法。DF检验有三种形式：1、2、3、),0(WN~,2111ttpjjtjttyyy),0(WN~,2111ttpjjtjttyyy),0(WN~,2111ttpjjtjttyyty关于ADF（DF）检验的两点说明1、当被检验序列接近含有单位根但实为平稳过程时，在有限样本，特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，识别为单位根过程，即检验功效降低。2、应当注意，当被检验过程含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受原假设。三ARIMA模型（一）一般ARIMA模型1、使用场合–差分平稳序列拟合2、模型结构2()(1)()()0(),()0,0,dptqtttatsstBBZBaEaVaraEaastEZast，在ARIMA(p,dq)模型中，若p=0，则该模型也称为求和阶数为(d,q)的滑动平均