运筹学与最优化方法试卷A(答案)

1华南农业大学期末考试试卷（A卷答案）2004学年第1学期考试科目：运筹学与最优化方法评卷人：1、（25分）考虑函数212212)1()(100)(xxxxf（1）求出)(xf的一阶导数（梯度）)(xf和二阶导数（Hesse矩阵）)(2xf。（2）用二阶导数（Hesse矩阵）)(2xf的相关定理验证Tx)1,1(*为)(xf的一个极小点。（3）求出)(xf在点Tx)1,1()0(处的最速下降方向和牛顿方向。解：（1）)(xf=TTxxxxxxxfxf)(200)1(2)(4002121212121。。。。。。5分)(2xf=2004004002120040011212222122212212xxxxxfxxfxxfxf。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）)(xf=TxTxxxxxx]0,0[)(200)1(2)(400*21212121)(*2xf=20040040080220040040021200400*11212xxxxx。。。。。。。。。。。。。。。。3分8020；0)(*2xf，故)(*2xf正定，结论成立。。。。。。。。。。。。。。。。。2分（3）Txxfd]0,2[)()0(。。。。。。。。。。。。。。。。5分)0()()]([12xxfxfd。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分2、（30分）考虑最优化问题11}min{23222132132xxxxxxxx（1）给出其Kuhn—Tucker一阶最优性条件、拉格朗日函数、外点惩罚函数、增广格朗日函数。（2）验证Tx)0,0,1()0(满足Kuhn—Tucker一阶最优性条件，并求出相应的拉格朗日乘子。2（1）Kuhn—Tucker一阶最优性条件0,0)1(02102102*321*3**2**1**xxxxxx。。。。。。。。。5分拉格朗日函数：)1())1((),(23222123212132xxxxxxyxxxL。。。。。。。5分外点惩罚函数：223222122321132)1()}]1(,0max[{),(xxxxxxxxxF。。。。。。5分增广格朗日函数：223222122321123222123212132)1()}]1(,0max[{)1())1((),,(xxxxxxxxxxxxyxxxP。。。。。。。。5分（2）易验证：Tx)0,0,1()0(满足Kuhn—Tucker一阶最优性条件，且1*。。。。。。。。10分3、（10分）用内点法求解问题的K-T点。001})1min{(212231xxxx解：定义障碍函数：)111()1(),(212231xxrxxrxGkk模型：),(minintkDxrxG。。。3分0)1(20))1(1()1(3222221211xrxxGxrxxGkk解得：TkkTrrrxxxk)2,31(),(321*。。。4分)0,1(lim*0*kkrrxx，有条件011x，得K-T点为（1，0）。。。。。。。。。。。。3分4、（10分）求下列双目标规划TDxxfxfxf))(),(()(min21的有效解和弱有效解。其中}20{,)(,2)(221xRxDxxfxxxf解：集合D为2,0，在f1Of2坐标面上画出象集合，方程为22212fff。。。。。。。。。5分图形为：3由接触点定理知：)(Df的有效点和弱有效点集皆为：ABEEwppa。。。。。。。。。。2分而AB的原象为[1，2]，于是：]2,1[wppaRR。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分5、（10分）设问题①为0,,,)max(321221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxcxcxcf（1）写出问题①的对偶问题②。（2）证明问题①有最优解的充分必要条件是问题②有最优解。解：（1）问题①的对偶问题②为：0,,,)min(3212122222112112211112211mnmmnmnmnmmmmmmyyyycyayayacyayayacyayayaybybybg。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）)min()()()()max(gYbYbbYAXYXYAXCfTTTTTTTT说明f(X)和g(Y)分别有上界和下界。又可行域D是有界闭集，则最优解同时存在。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分6、（15分）用单纯形法求解：0,1241648232min21212121xxxxxxxxz最优解)2,4(*x。。。。。。。。。。。。12分最优值14)max(z。。。。。。。。。。。。。。3分